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giacente in questo e tangente a quel nucleo in un punto qualunque x passerà un 

 ^\-, di pifuii della sviluppabile aventi gli S', di contatto passanti per x, sicché per 

 ogni punto .f di quel nucleo passerà un cono 5'^ composto di oo''~' S\ passanti per 

 esso ed appaitenenti alla superficie considerata. I punti di contatto degli S\ di 

 questo S\ con una quadrica qualunque della schiera formano un 5'\_, che varia con 

 quella. Si poti-ebbe chiamare quel nucleo S\_^_,, di quadrica h volte specializzata 

 come inviluppo della schiera s:pazio doppio di specie li esima per la superficie-luogo 

 considerata. 



8G. Non stiamo ad enunciare le proposizioni corrispondenti per la sviluppabile 

 di 4' classe e la schiera di quadriche a quelle dimostrate nei §§ 1 e 2 sulla po- 

 larità rispetto ad una quartica od un fascio di quadriche , sugli spazi quadratici 

 e lineali contenuti nella quartica e sulla generazione di questa mediante sistemi re- 

 ciproci. Facciamo invece qualche osservazione sulla classificazione delle sviluppabili 

 stesse analoga a quelle fatte nel § 3 sulla classificazione delle quartiche. 



La considerazione del discriminante dell'equazione tangenziale 



e dei suoi subdeterminanti permetterà di applicare ad una coppia di quadriche-invi- 

 luppi <!> , i^ ed alla schiera da loro determinata il teorema di Weierstrass. E notiamo 

 che la trasformazione proiettiva dei piani dello spazio $ che si considera, coincide 

 con una trasformazione proiettiva dei punti dello spazio 5, cosicché otterremo di 

 nuovo dal teorema di Weierstrass interpretato geometricamente le condizioni neces- 

 sarie e sufficienti perchè due quadriche (luoghi di punti od inviluppi di piani) si 

 possano trasformare mediante una proiettività in altre due quadriche date. Di qui 

 segue che, classificando la posizione mutua che possono avere due quadriche, consi- 

 derandole prima come luoghi di punti, poi come inviluppi di piani, si dovranno ot- 

 tenere gli stessi casi. Anzi si può dimostrare (*) che se A e B sono i determinanti, 

 supposti non nulli, delle due forme f , f di cui $, F sono le forme aggiunte, il 

 determinante di l'^ + mF avrà gli stessi divisori elementari che il determinante di 

 Alf-i-Bmf; quindi non solo la quartica d'intersezione di due quadriche e la svi- 

 luppabile dei loro piani tangenti comuni avranno la stessa caratteristica, ma inoltre 

 le quadriche specializzate, risp. come luogo e come inviluppo, del loro fascio e della 

 loro schiera , le quali corrispondono agli stessi gruppi caratteristici, si corrisponde- 

 ranno proiettivamente , e in questa comspondenza proiettiva così determinata tra il 

 fascio e la schiera le due quadiiche date si corrisponderanno inversamente. 



87. Consideriamo un piano doppio di una quadrica-inviluppo specializzata della 

 schiera: esso avrà lo stesso polo rispetto a tutta la schiera di quadriche, e quindi, 

 ove sia tangente all'una di esse, le toccherà tutte nello stesso punto. In questo caso 

 adunque ogni .S", passante per quel punto e giacente in quel piano si potrà consi- 



(*) V. una nostra nota nel prossimo fascicolo del Giornale di Matematiche. — (Gennaio 1884) 



