78 STUDIO SULLE QUADRIGHE ECC. 



derare come faciente parte di quella superficie, che dianzi considerayamo, luogo degli 

 S', di contatto dei piani della sviluppabile di 4" classe colle quadriche della schiera; 

 laonde quel piano (contato due volte almeno) si separerà dalla superficie stessa. 



88. Alla caratteristica [11 ... Il] corrisponde la schiera più generale di 

 quadriche con n quadriche semplicemente specializzate come inviluppi, i cui nuclei 

 stanno sugli n piani formanti la n upla polare comune. In generale, ad un gruppo 

 caratteristico qualunque contenente h indici corrisponde nella schiera una quadrica h 

 volte specializzata come inviluppo, di cui soltanto la posizione rispetto alla schiera 

 stessa dipende dal valore di quegli indici. Il caso in cui questi sono tutti uguali ad 1 

 è quello più generale. Se Jc tra essi sono uguali a 2 e gli altri tutti uguali ad 1 , 

 allora il 2',,_, di piani doppi della quadrica, ossia yS'„_,^_, che ne contiene il 

 nucleo, sarà tangente di specie Jc esima a tutte le quadriche della schiera. Per valori 

 degl'indici maggiori di 2 si hanno posizioni particolari del nucleo di quella quadrica 

 rispetto a tutta la schiera. Così, mentre il gruppo caratteristico 2 significa solo che il 

 piano doppio (contenente il nucleo) di una quadrica semplicemente specializzata tocca 

 in un punto tutta la schiera, il gruppo caratteristico 3 significa che inoltre il nucleo 

 di quella quadrica passa per questo punto, ed il gruppo caratteristico 4 che r5'„_3 

 tangente a quel nucleo in quel punto è pure tangente, ma di 2' specie, a tutta la 

 schiera di quadriche. E cosi via. 



89. Per un S"„_/,_, qualunque dello spazio conducendo i piani tangenti alle 

 quadriche di una schiera , vedemmo che essi formano nel 2 ',,_, dei piani passanti 

 per quel S'„_^_, una schiera di 2'),^.^. Se in particolare quel S' „_/,_, ha rispetto a 

 tutta la schiera di quadriche uno stesso S\_, polare, questo taglierà tutte quelle 

 quadriche precisamente nei luoghi dei punti di contatto della suddetta schiera di 

 2^A-2 colla schiera data di quadriche , sicché potremo dire che le intersezioni di 

 quel S'i,_^ colla schiera di quadriche faranno ancora una schiera di quadriche S^/,_, . 

 Ora un S'/,_, siffatto, che goda cioè della proprietà di avere uno stesso ■S"„_/,_j po- 

 lare rispetto alla schiera di quadriche, si ottiene sempre in quello che contiene il 

 nucleo di una quadrica della schiera specializzata n — Ji volte. Dunque, noi vediamo 

 che ogni tale spazio taglia la schiera di quadriche data in una nuova schiera di 

 quadriche (a numero minore di dimensioni), della quale fa parte, come risulta dal 

 ragionamento tenuto, il nucleo di quella quadrica specializzata. Della stessa proprietà 

 godrà evidentemente ogni spazio lineare intersezione di quelli che contengono i nuclei 

 di due più quadriche specializzate qualunque della schiera. 



90. Della superficie luogo degli S\ , in cui i piani della sviluppabile toccano 

 le quadriche della schiera, si trova facilmente l'equazione, e per conseguenza l'or- 

 dine. Per questo notiamo che l'equazione locale della quadrica avente per equazione 

 tangenziale 



l^ + mF—0 

 sarà della forma : 



pi!"- + ©, r-^m+. . . +<P„-, m"-=0 , 



