DI CORRADO SEGRE 79 



dove f ■ <p, , ■ ■ ■ , f „_, sono fanzioni quadratiche delle coordinate di punti. Facendo 

 variare / : m si hanno così le equazioni locali delle quadriche della data schiera. 

 Ora è chiaro che la superficie suddetta non è altro che il luogo delle intersezioni 

 di ogni quadrica della sclùera colla infinitamente vicina e che essa tocca appunto 

 ogni quadrica della schiera lungo questa quartica d'intersezione con quella infinita- 

 mente vicina. Quindi, mentre per un punto qualunque dello spazio passano n — 1 qua- 

 driche della schiera, i cui parametri 1 : m sono radici dell'equazione dianzi scritta, 

 in cui si siano poste le coordinate di quel punto, invece per un punto di quella 

 superficie due di quelle quadriche (o di quei valori di l : m) verranno a coincidere. 

 Ne segue che l'equazione locale di essa sarà data dal discriminante di quell'equa- 

 zione. Questo discriminante essendo di grado 2 (« — 2) nei coefficienti, e questi di 

 grado 2 nelle coordinate di punti, si avi'à cos'i un' equazione di grado 4 (n — 2) in 

 queste, cosicché conchiudiamo che questa superficie , cui dà luogo la sviluppabile di 

 4* classe, è di ordine i(n — 2), ossia è un 5* """^ . 



91. Più, in generale, consideriamo un punto pel quale coincidano /e delle n — i. 

 quadriche della sclùera che vi passano. Dovranno soddisfare a quell'equazione ed alle 

 sue prime Jc — 1 derivate, cioè ad un sistema di k equazioni che si vede facilmente 

 potersi ridurre ad esser tutte di grado n—Jc nel parametro l:m e che sono di grado 2 

 nelle coordinate di punti. Ora, da ima formula generale, che dà Y ordine di un si- 

 stema qualunque di equazioni, risulta che quel sistema è dell'ordine 2*~' . ^ {n — lì). 

 Quindi conchiudiamo che i punti pei quali passano h quadiiche della schiera infini- 



tamente vicine formano (nel caso più generale) uno spazio algebrico S l_^ ' • Si 



potrebbero chiamare tutti questi spazi algebrici, cui dà luogo la sviluppabile consi- 

 derata, spazi cuspidali di questa dei vari ordini. I casi estremi corrispondono a /!;= 2 , 

 che dà appunto VS'' "~^ di cui parlammo al n" precedente, ed a 7c = n — 1, che 



T"-" - il " ^ 

 dà un Sy ■ " ■'-' per ogni punto del quale coincidono tutte le quadriche della schiera, 



che vi passano. 



Nello spazio lineare a 3 dimensioni, ?« ^ 4 , noi vediamo così che la sviluppa- 

 bile di 4' classe , base di una schiera di quadriche , dà per luogo una superficie 

 d'ordine 8 , e per linea cuspidale una curva d'ordine 1 2 ; e queste sono proprietà 

 note di quella sviluppabile. 



92. Consideriamo una quadrica qualunque <p della schiera: la sua intersezione 

 con quel S^_'^^ conterrà, come già notammo, una quartica di contatto, la quale 

 quindi conta due volte. La parte rimanente dell'intersezione sarà dunque dell'ordine 

 2 .4(h— 2) — 2 . 4^8 (« — 3), cioè sarà un ^^_~^^ ■ D'altronde ogni 5', di quel 

 S^" ^ essendo già tangente a p non può tagliarla in un altro punto, senza gia- 

 cervi completamente. Adunque quel S "~ , che è la parte rimanente dell'interse- 

 zione di p col S*_^" ^ si compone tutto di >S'/ , ciascuno dei quali è formato dai 

 punti di contatto della schiera di quadriche con un piano, pure tangente a p. Con- 

 sideriamo in uno di quegli S\ il punto di contatto con una quadrica qualunque f 



