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della scliiera: questo punto apparterrà alla quartica in cui f taglia la quadrica fissa f, 

 e VS'„_i tangente nel punto stesso a quella quartica dovrà stare sui piani tan- 

 genti in esso ad /"e m , piani , che passano entrambi per c[uel S\ , cosicché quel 

 S'„_s tangente alla quartica sarà tangente di 2^ specie a <p , cioè la toccherà lungo 

 quel S\ . Un tal punto di una quartica giacente su f si dii-à punto singolare di 

 quella quartica rispetto a m. Noi giungiamo dunque a questa conclusione: L'S "~ ' 

 iti cui m è tagliata (non toccata) dalla superficie-luogo S''" " della sviluppabile 

 è composto di oo"~'' 5,' ciascuno dei quali contiene un punto singolare {rispetto 

 a p) di ogni quartica d'intersesione di f colle altre quadriclie della schiera, ansi 

 tocca quella quartica in quel punto singolare. 



Come tutti gli S\ polari dei piani dello spazio rispetto alla schiera di qua- 

 driche, così anche questi S\ composti di punti singolari delle quartiche che queste 

 determinano su p corrisponderanno proiettivamente alla schiera di quadriche e quindi 

 saranno proiettivi tra loro. Ognuno di essi contiene un punto di ciascun nucleo di 

 quadriche specializzate della schiera, punto che va considerato come singolare per la 

 corrispondente intersezione di p colla quadrica specializzata. 



Notiamo poi che viceversa ogni punto singolare della quartica in cui p è ta- 

 gliata da un'altra qua'lrica qualunque f della schiera è compreso nel cS ^, sud- 

 detto; in fatti per definizione il suo 5'„_3 tangente alla quartica toccherà p secondo 

 un S\ , che sarà luogo dei punti di contatto di P col fascio dei piani passanti pel 

 5'„_3: tra questi piani ve n'è uno tangente nel punto considerato ad f, e questo 

 piano sarà in conseguenza tangente ad /'e p , cioè farà parte della sviluppabile con- 

 siderata, ed inoltre V S\ considerato sarà appunto quello che congiunge i punti di 

 contatto di quel piano con quelle quadriche. È dunque provato l'asserto. 



93. Come abbiamo considerato l'intersezione di una quadrica qualunque p della 

 schiera col S , così si può in generale considerarne l'intersezione col S^^ /i-(n-*)j 



che vedemmo (n" 91) essere luogo dei punti d'intersezione di h quadriche infinita- 

 mente vicine della scliiera. Se consideriamo con p le h — 1 consecutive, avremo h 



k 



quadriche tagUantisi in un 5'^_^_^ ^ fl quale giacerà su p : in ogni suo punto vi 



r *-' 1 



sarà contatto Zìi-punto, com'è facile vedere, col suddetto S \ ' '"" ' , cosicché l'in- 



r * - 1 * 



tersezione S ^._" ' , di questo con p si comporrà di quel S"^ _ contato k volte 



r j 1 



ed inoltre di un 5^_^^__" ' , sicché questo si può riguardare come l'intersezione 



propriamente detta che cercavamo. Facendo crescer ìi a partire da 2 si hanno così 

 vari spazi algebrici su p , ciascuno contenuto nei precedenti. I punti di quello che 

 corrisponde ad un dato valore di li godono della proprietà che per ciascuno di essi 

 passano oltre a p altre n — 2 quadriche della schiera, di cui Ti, sono infinitamente 

 vicine. 



