82 STUDIO SULLE QUADRIGHE ECC. 



Xel caso in cui queste siano nella posizione più generale, ed anzi in tutti i 

 casi in cui la caratteristica della schiera o del fascio da esse determinato contiene 

 solo indici uguali ad 1, si possono porre le loro equazioni sotto la forma: 



(p^lx^ =0 



Sarà per conseguenza $ (?) ^ 2 § ,^ , e quindi le equazioni precedenti che determi- 

 nano i punti singolari d'ordine le della quartica f<p su f prendono la forma sem- 

 plicissima : 



1 x,"= , 2 s,. x;= , 1 s.'a-, = , 1 s^x-= 2 s, ''+'x\=Q . 



96. In ciascun punto singolare x della quartica Q abbiamo visto che i piani 

 tangenti a f nei punti del 5", corrispondente ad x non sono altro che i piani tan- 

 genti in x alle varie quadriche passanti per Q , cosicché queste quadriche del fascio 

 fanno comspondere proiettivamente tra loro i punti di quegli S\ . Consideriamo una 

 qualunque, f, di queste quadriche e la schiera di quadriche che essa determina con f. 

 Questa schiera taglierà f secondo un sistema di quartiche (tra cui è compresa Q'), 

 che diremo serie di quartiche omofocali. Le principali proprietà di una tal serie di 

 quartiche poste su p furono già trovate alla fine del § precedente (n' 92, 93). Queste 

 quartiche godono cioè della proprietà di aver comuni gli S\ corrispondenti ai punti 

 singolari, sicché tutti questi S\ formano su f un S ^^"~ ' che é perfettamente deter- 

 minato da una di quelle quartiche, p. e. da Q. Su ogni tale 5", un punto qua- 

 lunque é singolare per una determinata quartica della serie, la quale tocca VS\ in 

 esso ed é cori'ispondente ad un punto singolare per tutte le altre quartiche, e si ha 

 in tal modo una corrispondenza proiettiva tra i punti di questi S\ e le quartiche 

 della serie aventi quei punti per punti singolari. L' S' „_^ tangente a m lungo un tale 

 S , è tangente a tutte le quartiche del sistema rispettivamente nei loro punti sin- 

 golari posti su questo S\ e di qui segue* che ogni spazio lineare di p passante per 

 quel S' , e contenuto per conseguenza in quel 5''„_3 è tangente a tutte le quartiche 

 della serie nei punti singolari , cioè le taglia secondo spazi quadratici specializzati 

 aventi questi punti doppi. In particolare ogni S' , della serie considerata taglia ogni 

 quartica del sistema in due punti che coincidono nel punto singolare ; ed ogni S\ 

 di f passante per un tale S\ taglia ciascuna quartica in un ^S'", che si scinde in 

 due S\ aventi comune il punto singolare conispondente. 



97. Dalle cose dette nel § precedente , risulta come ogni punto del S _^"~ ' 

 considerato goda della proprietà che due delle n — 2 quartiche omofocali che in ge- 

 nerale passano pel punto stesso coincidono. Più in generale si può dimostrare che gli 



r * / 1 

 spazi S 'j ^" ' che ivi (n° 93) considerammo come luoghi di quei punti pei quali 



coincidono k delle n — 2 quartiche omofocali , che vi passano , sono i luoghi degli 

 oo 5\_j._i di punti singolari d'ordine /■ — 1 appartenenti alle oo quartiche omofocali; 



