DI l'OKHAIiO SEGKE 83 



r * 1 



e precisamente ogni punto del 5 ^._" ~' suddetto è singolai-e d'ordine Z; — 1 per 

 quella quartica nella quale coincidono appunto Jc delle n — 2 quartiche omofocali 

 che vi passano. 



Di qui poi segue che se indichiamo, come al n° 90, con 



f /"-•+p, 1"-^w+ +p„_,,»"-:=0 



la forma aggiunta nelle x della forma l ^^ {q) + ììi F (B) , sicché questa equazione- 

 e le sue prime Jc derivate rispetto ad vi , ponendovi poi 1=0 diventano : 



p„_,(=/') = 0, p„_,= 0, p„_3 = 0, ..., p„_^_. = , 



queste insieme colla 



^ p = 



determineranno i punti siiigolai'i d'ordine k della quartica f f su f . Esse hanno- 

 forma divei-sa da quella data al n° 95 per la determinazione degli stessi punti sin- 

 golari. Però i due sistemi di equazioni si equivalgono. 



98. Quelle proprietà di un sistema di quartiche omofocali che furono viste al 

 n" 96 ed in particolare il fatto che tutti gli 5', di p considerati formano un 

 5 '^7^' j che è perfettamente determinato da una qualunque di quelle quartiche, 

 mostrano che queste formano un sistema semplicemente iniinito, che è completamente 

 determinato da una qualunque di esse. La quartica Q è determinata come interse- 

 zione di un fascio di quadriche di cui fa parte p; orbene qualunque sia la qua- 

 drica /" che si prende in questo fascio, la schiera di quadriche determinata da /" e p 

 taglierà sempre p nello stesso sistema semplicemente infinito di quartiche omofocali, 

 sicché variando f nel fascio suddetto questo sistema di quartiche non muta e quindi 

 ogni quadiica della schiera ftp descriverà a sua volta un fascio avente per base 

 una delle quai'tiche omofocali ('"). 



Si ha cosi un sistema doppiamente infinito di quadriche, il cui studio non 

 sarebbe privo d'interesse. Esso si compone di oo' fasci di quadriche, poiché ogni qua- 

 drica del sistema determina con p un fascio, che fa parte di quello. Esso è pure 

 composto di oc' schiere di quadriche, poiché la schiera che una quadrica qualunque 



(*) Questo teorema interessante si può anche enunciare così : Siano date oltre ad una quadrica f 

 altre due quadriche feg; se queste son tali che il fascio di quadriche /"y e la schiera gf abbiano, 

 oltre a j , un' altra quadrica comune, anche il fascio di quadriche ^y e la schiera fo avranno comune, 

 oltre a y , una quadrica diversa da y . — La dimostrazione che ne ho dato sopra basta pel mio scopo j 

 sarebbe però desiderabile una dimostrazione diretta di questo teorema, ma non mi è riuscito di tro- 

 varne una tale che, oltre ad essere diretta, valga ancora per una posizione mutua qualunque di quelle 

 quadriche. Nel caso, in cui la caratteristica del fascio o della schiera /"y abbia tutti gl'indici uguali 

 ad 1, la dimostrazione è assai semplice, poiché si potrà^ assumere : y = Sa;- , f=2k^x.^ e quindi le 



forme aggiunta saranno: ^ = 11.', F=2— . Una quadrica del fascio f<f sarà 2(^^.-1-^)0;;^ e la sua 



r « 

 forma aggiunta S^— ^ — -, . La quadrica g per ipotesi determina con y una schiera, in cui suppongo stia 



precisamente quella quadrica del fascio fy (oltre a y), cosicché g sarà della forma 2|;' (''4-pxi) » 



