84 STUDIO SULLE QUADRIGHE ECC. 



del sistema determina con p è tutta contenuta nel sistema. Tutti i fasci del sistema 

 si corrispondono proiettivamente, essendo in essi corrispondenti quelle quadriche che 

 stanno in una stessa schiera del sistema, e analogamente si corrispondono proiettiva- 

 mente le schiere del sistema. Due sclùere qualunque , ovvero due fasci qualunque di 

 quadriche del sistema non hanno alcuna quadrica comune, salvo <p, mentre un fascio 

 ed una schiera hanno sempre comune una quadrica oltre a p (la qual quadrica può 

 però venir a coincidere con p). 



99. Il sistema di quadriche considerato è polare reciproco di se stesso rispetto 

 alla quadrica p. In fatti, si consideri un suo fascio qualunque, e in questo sia f la 

 quadrica infinitamente prossima a <p. La schiera f <p appartiene pure al sistema, ed 

 è facile vedere con considerazioni infinitesimali che essa è appunto polare di quel 

 fascio rispetto a f. Cosi si vede come i fasci e le schiere del sistema si corrispon- 

 dano gli uni alle altre, essendo polari reciproci rispetto a. (p. Ed è appunto un fascio 

 ed una schiera del sistema, i quali si corrispondano in questa polarità, che avranno 

 comune oltre a p solo una quadrica infinitamente vicina a questa. Questa polarità 

 poi mostra che vi è una corrispondenza proiettiva non solo tra i fasci di quadi'iche 

 del sistema o tra le scliiere del sistema stesso, ma anche tra quelli e queste. 



100. Si ha una rappresentazione molto semplice di questo sistema doppiamente 

 infinito di quadriche considerando il luogo dei poli di un piano dello spazio (o l'in- 

 viluppo dei piani polari di un punto) rispetto alle quadriche del sistema. Se P è 

 il polo rispetto a p , il luogo dei poli relativi ad un fascio di quadriche del sistema 



ossia in coordinate di punti S — . Nel fascio che questa quadrica g determina con y una qua- 



/- 



1 



k, + l 



drica qualunque sarà ^x^ 1 ij.-\ — \ , mentre nella schiera ff una quadrica qualunque e 



S ?j.8 |ot + — j , ed il teorema consiste in questo, che si possono sempre determinare m e ij. in modo 

 che questa quadrica coincida con quella , pel che basta che sia : 



1\ / 1 \ (»"A,-t-1)[ /''-l-))/£,-4-//.(n4-l)+;] 



cost, = (hi 4" 7 /i""*" ^ 



h] [ ■,, L_ [/A, + n, + i].ft,- 



ki + ll 



Di qui (trascurando l'ipotesi TOt=co , iì.-=^ , che conduce solo alla quadrica comune y) si traggono 

 le due equazioni: m(i/-j-l) — / = U, ,«(7/ -|- 1 )-t-i = , ossia: w = //. = — -., formule 



che determinano perfettamente to e // . Si ha così una dimostrazione diretta del teorema. Di più 

 queste formule mostrano che solo quando n = — 1 la quadrica considerata comune alla schiera /"y ed 

 al fascio £ry viene a coincidere (m = /i = c») con quella quadrica che questi hanno sempre comune, 

 cioè con y. Inoltre, considerando in esse come fissa l'uaa delle due quantità l, l, e l'altra come 

 variabile , esse stabiliscono una con-ispondenza proiettiva tra questi parametri ed i parametri m e //., 

 dalla quale si ha una verificazione delle proposizioni che sopra si esporranno. 



Noterò finalmente, che il teorema di cai si tratta fu per lo spazio a 3 dimensioni enunciato, credo 

 per la prima volta dal Darboux nella sua opera " Sur une. classe remarquahle de courbes et de surfaces 

 algébriques etc. » (1873) a pag. 59, ma dimostrato pel solo caso appunto in cui le quadriche considerate 

 si possono rappresentare con somme di quadrati. 



