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passante per p è un S,"~' (V. n° 55) passante per P: gli S', che congiuugono 

 P ai punti di quel S,"~' saranno luoghi dei poli relativi alle schiere di quadriche 

 che congiungono f alle quadriche del fascio considerato. 11 luogo di questi Sj sarà 

 un cono di vertice P a 2 diuiensioni e d' ordino « — 2 , nel quale esisterà un 

 sistema semplicemente infinito di S"'', luoghi dei poli relativi a fasci di quadriche 

 del sistema. Ed il fatto che in quel cono ogni S,' taglia ogni S"~' in un punto 

 determinato oltre a P, mentre due 6',' ovvero due S,"~' non si tagliano che in P, 

 conferma quanto dicemmo sul sistema di quadriche. Così pure si vede che gli S,' 

 saranno punteggiati proiettivamente dagli S"~'' e questi da quelli. Finalmente pos- 

 siamo far corrispondere ad ogni 5, "~^ l'5/ che lo tocca- in P e viceversa, ed allora 

 le punteggiate poste su un iS', e su un 5,"~^ si potranno far corrispondere proietti- 

 vamente mediante risp. gli S"'"^ e gli 5,' corrispondentisi. — Viceversa, da questa 

 raijpresentazione su quel cono, si potrebbe facilmente dedurre" una dimostrazione del 

 teorema del n° 98 e della nota relativa. 



101. Tutti i fasci e tutte le schiere contenuti nel sistema hanno la stessa ca- 

 ratteristica. Consideriamo in fatti una schiera passante per p : se in essa prendiamo 

 un'altra quadrica qualunque, il fascio che essa determinerà con p avrà la stessa ca- 

 ratteristica della schiera (V. n° 86), anzi gli stessi invarianti assoluti, e quindi 

 avranno la stessa caratteristica tutti i fasci così ottenuti; e similmente si scorge che 

 quella caratteristica e quegl'invarianti assoluti apparteugono pure alle schiere del si- 

 stema. Quegl' invarianti assoluti dipendono dalle quadriche specializzate risp. come 

 luoghi e come inviluppi dei fasci e delle schiere. Ora le quadriche specializzate, come 

 luogo e quelle specializzate come inviluppo, si corrispondono nella polarità rispetto 

 a p. — Se consideriamo una quadrica /* volte specializzata, come inviluppo di una 

 schiera passante per p, il suo nucleo S^^_,^_^ godrà rispetto alla sviluppabile di base 

 delle proprietà viste al n° 85, e quindi taglierà (p in un S''„_i,_^ , i cui punti sa- 

 ranno doppi di specie h esima per quella sviluppabile, cioè saranno punti per cia- 

 scuno dei quali passerà un cono S^ tutto composto di S\ della sviluppabile, i quali 

 staranno tutti su p e saranno perciò composti di punti singolari delle quartiche 

 omofocali; anzi in questo modo si avranno tutti questi punti singolari. Tutti quegli 

 S^,^/,-3 contenuti in f si diranno quartiche focali o semplicemente focali di quella 

 serie di quartiche date (e di qui il nome dato a queste di quartiche omofocali). 

 Poiché essi dipendono solo evidentemente da questo sistema di quartiche, il quale 

 non muta cambiando la schiera di quadriche, così potremo concliiudere che i nuclei 

 delle quadriche specializzate delle varie schiere formano fasci insieme coll'intersezione 

 di f cogli spazi lineari in cui i nuclei stessi sono contenuti (spazi lineari, che sono 

 gli stessi per tutte quelle scMere). 



102. Data la caratteristica di una quartica su p e quindi anche di tutte le 

 quartiche omofocali, gl'invarianti assoluti di quella quartica saranno dati dagl'inva- 

 rianti assoluti del gruppo composto di p e delle quadriche specializzate del fascio 

 che determina quella quartica. Invece, se si vogliono gl'invarianti assoluti del sistema 

 di quartiche omofocali (cioè quelle quantità, che occorre e basta abbiano lo stesso 



