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Talore per due serie omofocali di quartiche aventi la stessa caratteristica, affinchè 

 queste serie si possano trasformare proiettivamente l'una nell'altra) non occorrerà con- 

 siderare anche p in quel grappo. 



Da un risultato avuto al n° 75 ricaviamo per dualità che, se nella caratteri- 

 stica di una serie di quartiche omofocali poste su <p s'indicano con e i primi indici 

 dei vari gruppi caratteristici, il numero delle quartiche (variabili) della serie che 

 passano per un punto qualunque di f è : 



103. Noteremo finalmente che, ponendo w=4 nei risultati degli ultimi §§, 

 otteniamo per lo spazio lineare a 3 dimensioni le seguenti proposizioni : 



La sviluppabile circoscritta ad una schiera di quadriche è in generale di A^ classe 

 d'ordine 8 ed ha uno spigolo di regresso d'ordine 12. Essa tocca una quadrica qua- 

 lunque della schiera secondo una quartica e la taglia secondo 8 rette, cioè 2 qua- 

 terne di generatrici dei due sistemi , le quali sono precisamente le generatrici tan- 

 genti a quella quartica (*). In ogni quadrica f della schiera le altre determinano 

 come intersezione un sistema di quartiche omofocali, cioè tangenti a due quaterne 

 fisse di generatrici di © : gli 8 punti di contatto con queste sono per ciascuna quar- 

 tica i punti singolari rispetto a p {singolari in quanto che hanno per tangente non 

 una tangente ordinaria di p, ma una sua generatrice). Sulle 8 generatrici di p si 

 hanno così 8 punteggiate dei punti singolari, tutte proiettive tra loro ed al sistema 

 di quartiche omofocali. In particolare vi sono, nel caso più generale, nella schiera 4 

 quadriche specializzate, i cui nuclei sono 4 coniche doppie della sviluppabile, le quali 

 tagliano p in 4 quaterne di punti, le quali non mutano cambiando la schiera ma 

 lasciando fisso il sistema di quartiche omofocali e godono delle proprietà che per 

 ogni punto di una di esse passano due delle generatrici dei punti singolari, sicché 

 quei 4 . 4 punti non sono altro che i 16 punti d'intersezione delle 8 generatrici 

 suddette. In ognuna di queste stanno 4 di quei punti , uno per ogni quaterna ; e , 

 come dicemmo, questi gruppi di 4 punti sono proiettivi al gruppo delle 4 quadriche 

 specializzate della schiera, sicché possiamo aggiungere alle proposizioni enunciate dallo 

 Chasles quest'altra: che i rapporti anarmonici delle due quaterne di generatrici 

 singolari di p sono uguali. Essi costituiscono l'invariante assoluto della serie di quar- 

 tiche omofocali su p. Se ad esso aggiungiamo un rapporto anarmonico in cui entri 

 un punto singolare di una data quartica del sistema, avremo i due invarianti asso- 

 luti di questa quartica. 



(*) V. Chasles « Proprietés des courbes à doublé courbure du 4" ordre provenant de V intsrseclion 

 de deux surfaces du second ordre ». Coraptes-reudus, 18fc2 (voi. 04, p. 317 e 418). Ivi sono pure dati 

 altri caratteri per la quartica e la sviluppabile di 4' classe; si potrebbe cercarne gli analoghi per uno 

 spazio a più dimensioni. 



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