88 SULLA GEOJIETKIA DELLA EETTA ECC. 



e colla notazione S,' . Ed in generale la lettera S accompagnata da indici secondo 

 il solito metodo rappresenterà uno spazio qualunque contenuto in 8, mentre quegli 

 spazi speciali che sono contenuti nella quadrica B, , cioè che sono tutti composti di 

 rette, s'indicheranno spesso colla lettera R accompagnata da indici. 



105. La prima domanda importante che si presenta per lo studio delle rette 

 come elementi della quadrica i? è se vi siano in questa spazii lineari ed in qual nu- 

 mero. Ora dai risultati generali ottenuti nella Parte 1'' del presente lavoro, nei quali 

 si ponga 11= Q , si vede (V. n° 30) che in i? vi sono oo^ spazi lineari semplice- 

 mente infiniti J?,', i quali noi diremo fasci di rette, sì che per ogni retta passano 

 oo^ fasci; e inoltre vi sono co^ spazi lineari doppiamente infiniti Pt,' tali che ogni 

 fascio jR,' è contenuto in due di essi, ed ogni elemento di J?, cioè ogni retta, in oc' 

 di essi. Névi sono in II sistemi lineari di numero di dimensioni maggiore di due. Eisulta 

 inoltre da quella teoria generale che questi spazi lineari a 2 dimensioni formano due 

 sistemi ben distinti : chiameremo punti (di rette) quelli dell'un sistema, e piani (di 

 rette) quelli dell'altro sistema. La quadrica B, di cui si tratta, lia per numero di 

 dimensioni (4) un multiplo di 4, e quindi (V. n° 40) due J?/ in generale hanno un 

 elemento comune soltanto se sono dello stesso sistema. 



Dunque : 



Due punti hanno sempre comune una retta. Due piani hanno sempre comune 

 una retta. Un punto ed un piano non hanno in generale comune alcuna retta. 



Per ogni retta passa un numero semplicemente infinito di punti e di 

 piani. 



Converremo di dire che due rette si tagliano (od anche che si appoggiano l'una 

 sull'altra) quando appartengono ad uno stesso fascio i?,'. Allora dalle cose dette in 

 generale ai n." 29, 30, segue: 



Due rette qualunque non si tagliano in generale. Se due rette si tagliano, 

 esse individuano un fascio nel quale sono contenute, e questo fascio a sua volta 

 è contenuto in un punto di rette ed in un piano di rette perfettamente individuati, 

 cosicché ogni retta, die tagli le prime dtte è contenuta o in questo piano od in quel 

 punto (*), vale a dire: tre rette che si taglino o stanno in un piano o stanno in 

 un punto. 



Come si vede, benché in generale un punto ed un piano non abbiano rette co- 

 muni, pure, per eccezione, possono averne comune un fascio. In tal caso diremo che 

 il punto ed il piano sono uniti. Ciò posto si ha il seguente teorema : 



Tre punti sono in generale uniti ad un piano e tre piani uniti ad un punto. 



(*) Mi permetto di dire, che una retta è contenuta in un punto, e che un punto passa per una 

 retta, quando nel linguaggio ordinario si usano al contrario le parole passare e contenere; ma, 

 così facendo , risalta meglio la dualità perfetta tra punto e piano , che nella nomenclatura della 

 geometria ordinaria è affatto trascurata. 



