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In fatti consideriamo tre punti qualunque: avranno comuni in generale a due a due 

 tre rette distinte, le quali si taglieranno mutuamente (quelle che stanno in uno stesso 

 punto), determinando a due a due dei fasci di rotte contenuti rispettivamente in quei 

 punti : ora ciascuno di questi fasci è pur contenuto in un piano, il quale coinciderà 

 con quel piano che è individuato dal contenere quelle tre rette , e sarà, unito ai 

 tre punti , come si voleva dimostrai-e. — Analogamente scambiando le parole punto 

 e Ili a no. 



Questo ragionamento mostra però come possa accadere che non sia individuato 

 il piano unito ai tre punti , od il punto unito a tre piani) , e precisamente che ciò 

 accade sempre quando questi tre punti hanno comune una retta, nel qual caso ogni 

 piano passante per questa è unito ai tre punti, anzi a tutti gli altri punti che pas- 

 sano per la i-etta. Insomma gli oo' punti, e gli oo' piani, i quali passano per una 

 data retta sono tra loro uniti, ed hanno comuni gli oo* fasci di rette, che vedemmo 

 passare per la retta data. 



106. Le cose viste al n." precedente mostrano come la geometria della retta 

 conduce in un modo natui'alissimo alla considerazione del punto e del piano, alle -rela- 

 zioni che passano tra punti, piani e rette, ed alla dualità perfetta che passa tra punti 

 e piani. Questa dualità si basa ora sul fatto che gli oa^ punti e gli c<} piani costi- 

 tuiscono i due sistemi distinti di spazi lineari doppiamente infiniti di rette, che solo 

 esistono. Ora, come nella quadrica ordinaria i 2 sistemi di generatrici hanno proprietà 

 identiche, così nella H , spazio di rette, quei due sistemi di spazi lineari doppiamente 

 infiniti si equivalgono perfettamente, sicché ogni proposizione, che vale per l'uno, vale 

 pure per l'altro. Donde precisamente la dualità tra le proposizioni che riguardano i 

 punti e quelle che riguardano i piani. 



107. Da quel modo di concepire i punti ed i piani segue anche immediata- 

 mente una proposizione importante per tutta la geometria piu'a della retta. Conside- 

 riamo una trasformazione proiettiva qualunque dello spazio Suo dimensioni : essa 

 ti-asformerà piu'e ogni spazio lineare di questo in altro tale spazio lineare. Dunque, 

 se essa è tale che la quadrica i2 a 4 dimensioni si trasformi in se stessa, gli spazi 

 lineari a 2 dimensioni che essa contiene si trasformeranno pure in spazi lineari a 2 

 dimensioni contenuti in essa, e la trasformazione proiettiva o sarà tale che ognuno dei 

 due sistemi di tali spazi contenuti in H si trasformi in se stesso, oppure tale che cia- 

 scuno di essi si trasformi nell'altro. Però in entrambi i casi due tali BJ di diverso 

 sistema i quali siano uniti, cioè abbiano comune un Bj, conserveranno la stessa pro- 

 prietà dopo la trasformazione. Dunque si ottengono in tal modo due specie di trasfor- 

 mazioni per lo spazio (ordinario) di punti e piani : entrambe sono univoche , ma l'una 

 trasforma i punti in punti, i piani in piani, un punto ed un piano uniti in un punto 

 ed un piano uniti; mentre l'altra trasforma i punti in piani, i piani in punti, un 

 punto ed un piano uniti in un piano e4 iact nunto uniti. Ora questi caratteri mostrano 

 che nello spazio ordinario la prima di queste è una coIUneazione od omografia , l'altra 

 una reciprocità. Dunque : Ogni trasformazione proiettiva dello spazio S a 5 diwn- 



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