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sioni tali che la quadrica Bai dimensioni si trasformi in se stessa è per Io 

 spazio ordinario una coìlineazionc ovvero una reciprocità. E viceversa. — Questo 

 teorema è dovuto al Klein {*). 



108. Per gli spazi contenuti nella quadrica II a 4 dimensioni si usano le se- 

 guenti denominazioni: quelli a tre dimensioni H^ si dicono complessi di rette, quelli 

 a due dimensioni J?^ sistemi di rette, quelli ad una dimensione iJ, rigate. In virtù 

 di un teorema del Klein enunciato nella nota al n" 39, ogni complesso algebrico di 

 rette e determinato come intersezione di R con un altro spazio algebrico, pure a 4 

 dimensioni, di S : l'ordine di questo spazio algebrico si suol chiamare grado del com- 

 plesso (bencliè la denominazione sia impropria, perocché è chiaro che appunto il doppio 

 di quel numero dovrebbe dirsi grado di quell'intersezione; tuttavia quel teorema di 

 Klein dà un carattere di opportunità a quella denominazione). Di qui segue che ogni 

 fascio di rette contiene tante rette di un complesso algebrico quante sono le unità 

 contenute nel grado di questo. 



Per un sistema algebrico di rette B^ bisogna dare, coniL' si è visto più. in ge- 

 nerale per le quadriche a numero pari di dimensioni (Y. n" 41), due numeri diversi: 

 il numero cioè degli elementi (rette) che esso ha comuni con ogni piano, il qual nu- 

 mero dicesi classe del sistema, ed il numero degli elementi che esso ha comuni con 

 ogni punto cioè Vordine del sistema. Un sistema di rette d'ordine p. e classe -j s'in- 

 dica più brevemente con [p. v). 



Due complessi di gradi m, m' hanno comune un sistema di rette di ordine e 

 classe uguali ad mm': questo sistema dicesi congruema di grado mm. 



Dicesi grado di una rigata iì, il suo ordine come spazio algebrico ad 1 dimen- 

 sione di S. Yedremo che ciò equivale a dire che il grado è il numero di quelle rette 

 contenute nella rigata (cioè generatrici di questa), le quali tagliano una retta qua- 

 lunque. Un punto ed un piano qualunque non contengono in generale alcuna retta 

 di una data rigata. I punti ed i piani che contengono rette della rigata sono co^ e 

 diconsi punti e piani di questa ; sicché essa, mentre avendo riguardo alle sue rette 

 costituisce appunto una rigata, avendo invece riguardo ai suoi punti ed ai suoi piani 

 costituisce rispettivamente una superficie-luogo ed una superficie -inviluppo, nel senso 

 ordinario di queste parole. 



109. Se nel teorema generale dimostrato al n" 41 sul numero degli elementi 

 comuni a due spazi algebrici a p dimensioni di una quadrica a numero pari 2p di 

 dimensioni poniamo j) = 2 abbiamo immediatamente il seguente teorema dovuto ad 

 Halphen (**) e importantissimo per la risoluzione di molte questioni anche all'infuori 

 della geometria della retta : 



Due sistemi di rette {u. y) , (fj., y,) hanno comuni ^aa, + vv, rette. 



{■) Lo enunciò neUa memoria « XJeber cine geomeirische Reprasentalion der Resohenlen alge- 

 braischer Gleichungen « del 'i" voi. dei Mathematische Anualen, a pag. 356 , e lo dimostrò poi nella 

 bellissima memoria a Liniengeometrie und melrische Geometrie n del 5" voi. dei Math. .■Vnn. a pag. 262. 



[*') V. Halpeien 1 Sur les droites qui satisfont à des conditions donnèes » Comptes-rendus, 1871 



