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cernente tangente ad R : in questo caso segue dalla teoria generale die la congruenza 

 lineare consta di oo' fasci di rette passanti per una retta fissa (l'elemento di con- 

 tatto), in cui coincidono in questo caso le due direttrici, sì che ogni piano (ed ogni 

 punto) passante per questa contiene \vù. fascio determinato di rette della congruenza. 

 Di qui segue immediatamente che considerando i piani ed i punti contenenti una retta 

 fissa come formanti due forme di prima specie , nella congruenza speciale composta 

 di oo' fasci passanti per una retta fissa r questi fasci corrispondono proiettivamente 

 sia alla serie degli co' punti in cui stanno, sia a quella degli oo' piani in cui stanno, 

 cosicché anche queste 2 serie di punti e piani si corrisponderanno proiettivamente ; il 

 die costituisce una proprietà importante della congruenza lineare speciale , che 

 può anche servire per definizione. — La congruenza lineare è doppiamente specializ- 

 zata quando l' S^ che la contiene ha un contatto di 2' specie con li ; in tal caso 

 essa si scinde in un punto ed un piano uniti aventi comune il fascio di rette che 

 è l'i?,' di contatto di quel S^ . 



Una rigata quadrica i?,^ può specializzarsi come nel piano ordinario si può spe- 

 cializzare una curva di 2" ordine. La rigata semplicemente specializzata si scinde in 

 due i?,' distinti, cioè in 2 fasci aventi comune una retta (elemento di contatto di 

 R col Sj che contiene la rigata). Quando 1" S'^ contenente la rigata ha un contatto 

 di 2" specie con B., allora la rigata quadrica si riduce ad un fascio doppio, che è 

 quello di contatto. Quando l' S.^ lia un contatto di S"" specie con R , allora vi è con- 

 tenuto completamente, cioè è un punto od un piano di rette (*). 



112. Come la geometria della retta nello spazio si considera da noi come geo- 

 metria di una quadrica 7? a 4 dimensioni in uno spazio (S a 5, così la geometria 

 delle rette di un complesso lineare si potrà considerare come quella di una quadrica 

 R^ a 3 dimensioni in uno spaziò lineare a 4 dimensioni S, , la qual quadrica però 

 sarà specializzata, cioè avrà un elemento doppio, quando il complesso lineare sarà spe- 

 ciale. E la geometria delle rette di una congruenza lineare sarà la geometria di una 

 quadrica R^^ nello spazio lineare a tre dimensioni, cioè coinciderà perfettamente colla 

 geometria su una quadi'ica nello spazio ordinario ; se la congruenza è speciale, questa 

 quadnca avrà un punto doppio (sarà cioè un cono quadrico ordinario), e se la con- 

 gruenza è doppiamente specializzata, quella quadrica si scinderà in una coppia di piani. 

 Finalmente la geometria delle rette di una rigata quadrica si può considerare come 

 quella di una quadrica R,'' ad una dimensione nello spazio lineare a 2 dimensioni 

 (p. e. una conica nel piano ordinario), la quale si scinderà quando la rigata qua- 

 drica si scinda in due fasci. 



(*) Se introduciamo coordinate per gli elementi dello spazio ò' a 5 dimensioni, e una equazione 

 quadratica qualunque, di discriminante non nullo, per rappresentare E, avremo immediatamente, 

 come caso particolare da quelle generali date ai numeri 35, 36, le equazioni, che esprimono le condi-' 

 zioni perchè un complesso od una congruenza lineare , od una rigata quadrica si specializzino , sia 

 che essi siano dati mediante rette in essi contenute, sia che siano dati come intersezioni di complessi 

 lineari. Queste condizioni furono date dal Klein colla sua solita eleganza nella memoria « Ueber 

 gewisse in der Liniengeometrie aufiretende Differentialgleichungen • (Math. Ann. Bd. V, pag. 278 e 

 seg.). Simultaneamente furono trovate, ma solo pel caso in cui il sistema di riferimento è un tetraedro, 

 dal Pasch (« Zur Theorie der linearen Complexe », Crelle's Journal, Bd. 75). 



