PEK CORRADO SEGRE 93 



Soltanto il fascio di rette ed il punto e il piano di rette sono spazi di rette 

 essenzialmente lineari (rispettivamente ad 1 e 2 dimensioni). Quindi la' geometria 

 nel fascio di rette e la geometria sul punto e sul piano di rette sono le teorie delle 

 forme lineari di V e 2° specie. 



113. Una serie lineare di S^ dello spazio S determina come intersezioni su R 

 una serie, che diremo pure ìinrare di complessi lineari. In particolare un fascio di 

 complessi lineari sai'à formato da co' complessi aventi comvme una congruenza lineare; 

 una serie lineai-e doppia sarà composta dai complessi lineari aventi comune una ri- 

 gata quadrica ; una serie lineare tripla dai complessi lineari aventi comuni due rette. 

 Quanto alla serie lineare quadrupla, essa sarebbe determinata dagli *S',/ che passano 

 per un elemento fisso S^ di S. Ma questi elementi di S quando non stanno su JR 

 dobbiamo farli sparire dai nostri enunciati; ciò si può ottenere, come ci accadrà spesso 

 di fare in seguito, sostituendo alla considerazione degli elementi di S quella dei com- 

 plessi lineali di rette, in cui gli S^ polari degli elementi stessi rispetto ad R ta- 

 gliano questa quadrica. Così facendo ed introducendo anche la denominazione di in- 

 ■voìidorì per due complessi lineari, i quali stiano in S,^ coniugati rispetto ad R (cioè 

 passanti l'uno pel polo dell'altro), è chiaro dalla teoria generale della polarità rispetto 

 ad una quadrica che la definizione data delle serie lineari di complessi lineari con- 

 duce immediatamente a questa conclusione: 



Una serie lineare m upla di complessi lineari comprende tutti i complessi 

 invohdori a tutti i complessi di una serie, lineare (4 — m) upla. — Due tali serie 

 diconsi involutorie. In particolare adunque una serie lineare quadrupla comprende 

 tutti i complessi lineari involutori ad uno fisso. 



Se un complesso lineare è speciale, i complessi lineari che sono in involuzione 

 con esso sono quelli che passano pel suo asse. Se due complessi speciali sono invo- 

 lutori, i loro assi si tagliano, e viceversa. Da queste proposizioni, che sono solo casi 

 particolari di teoremi generali visti nella 1" parte di questo lavoro, segue immedia- 

 tamente : 



Due serie lineari involutorie di complessi lineari godono della proprietà che 

 le rette comuni ai complessi dell'una sono gli assi dei complessi speciali dell'altra 

 serie, e viceversa. 



In particolare: Tra i complessi lineari involutori ad un complesso fisso quelli 

 speciali hanno per assi le rette di questo ; quella serie quadrupla di complessi lineari 

 non ha rette comuni, salvo quando il complesso a cui è involutoria sia speciale, nel 

 qual caso tutti i complessi, della serie passano per l'asse di questo. — Una serie tripla 

 di complessi lineari è involutoiia ad un fascio di complessi: essa comprende tutti i 

 complessi lineari passanti per 2 rette fisse, sicché queste saranno gli assi dei 2 soli 

 complessi speciali del fascio; e la congruenza delle rette comuni ai complessi di questo 

 si compone di rette appoggiate su quelle due fisse (che sono le 2 direttrici della con- 

 gruenza), cioè degli assi dei complessi speciali appartenenti alla serie tripla. Questa 

 congruenza lineare però può essere speciale : in tal caso coincideranno i due com- 



