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plessi speciali del fascio, ossia le 2 rette comuni ai complessi della serie tripla. Se 

 poi la congruenza è doppiamente specializzata, cioè scissa in un punto ed un piano 

 uniti, allora tutte le rette del fascio doppio di questa congruenza saranno assi di com- 

 plessi speciali costituenti in tal caso tutto il fascio di complessi, mentre la serie tripla 

 si comporrà dei complessi lineari che contengono quel fascio di rette. — Finalmente 

 ad ogni serie doppia di complessi lineari è invohitoria un'altra serie doppia in guisa 

 che gli assi dei complessi speciali dell'una serie costituiscono la rigata quadrica che 

 comprende tutte le rette comuni ai complessi dell'altra serie, e la rigata quadrica 

 delle rette comuni ai complessi della prima serie si compone degli assi dei complessi 

 speciali della seconda serie. Quindi queste due rigate quadriche sono tali che ogni 

 retta dell'una taglia ogni retta dell'altra; i punti ed i piani delle rette delle due 

 rigate sono perciò gli stessi e formano quindi una stessa stijicrficie di 2° grado, nel 

 senso ordinai'io di questa parola. Tali due rigate si diranno rigate quadriche coniugate 

 e noi vediamo che esse sono caratterizzate nella geometria ordinaria del giacere su 

 ima stessa superficie di 2° grado. — Una delle due serie doppie di complessi lineari 

 può essere speciale, cioè avere per rigata quadrica degli assi dei suoi complessi spe- 

 ciali una rigata quadrica specializzata, cioè degenerata in una coppia di fasci aventi 

 una retta comune ; in tal caso è chiaro che le rette comuni a quei complessi spe- 

 ciali e quindi anche a tutta la serie costituiscono quei 2 fasci che stanno rispetti- 

 vamente negli stessi piani e negli stessi punti dei 2 fasci precedenti ma presi in modo 

 inverso (poiché devono tagliare tutte le rette di quelli). Quindi questi nuovi fasci co- 

 stituiscono gli assi dei complessi speciali della serie involutoria a quella, la quale 

 dunque sarà pure speciale. Cos'i vediamo come le due rigate quadriche coniugate si 

 scindano simultaneamente in coppie di fasci ed in quale posizione mutua questi stiano. 

 Può poi una delle due rigate quadriche essere doppiamente specializzata, cioè com- 

 porsi di due fasci coincidenti ; in tal caso risulta tosto dalla teoria generale clie 

 anche l'altra sarà tale e che le due serie doppie involutorie avranno comune questo- 

 fascio di complessi lineari speciali, che è pure fascio di retto comuni a tutti i com- 

 plessi delle due serie. 



114. Ahbiamo visto come in un fascio di complessi lineari ve ne siano in ge- 

 nerale due speciali : ciò del resto risultava tosto dal fatto che nello spazio S in un 

 fascio qualunque di S". ve ne sono due tangenti ad B. Notiamo inoltre che due S' 

 di quel fascio sono coniugati rispetto ad B quando sono armonici coniugati rispetto 

 a quei due S'^ tangenti. Quindi possiamo anche definire due complessi lineari iiwo- 

 lìttori come quelli che sono armonici coniugati rispetto ai due complessi speciali 

 del loro fascio. 



Se consideriamo le rette di un complesso lineare non speciale come formanti 

 una quadrica B"". in uno spazio lineare a -! dimensioni, è chiaro che il complesso 

 lineai'e contiene oo'' congruenze lineai'i , di cui due qualunque hanno comune una 

 rigata quadrica, per la quale passano oo ' congruenze lineari del complesso, le quali 

 diremo formare un fascio. Tra esse ve ne sono in generale due speciali (semplice- 

 mente specializzate) ; le direttrici delle congruenze del fascio costituiscono la rigata 

 quadrica coniugata a quella considerata del complesso lineare, e per ciascuna delle 



