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due congruenze speciali esse coincidono. Diremo clie due congruenze lineari del com- 

 plesso lineare sono iiivoliitorie , nuaudo sono coniugate armoniche rispetto alle due 

 congi'uenze speciali del loro fascio. È chiaro dalla considerazione della quadrica R 

 nello spazio •S' a 5 dimensioni che per due congruenze lineari iiivolutorie di un dato 

 complesso liueai-e si possono sempre far passare (e in modo perfettamente determinato) 

 due complessi lineari involutori tra loro ed al dato. 



Similmente nella geometi-ia delle rette di una congruenza lineare considerata 

 come una quadiica iJ\ in uiio spazio lineare a 3 dimensioni si trova che la congruenza 

 contiene oo^ rigate quadriche, le quali si tagliano a 2 a 2 in coppie di rette. Quelle 

 rigate che passano per una stessa coppia di rette diremo formare un fascio (e con- 

 siderate come luoghi di punti od inviluppi di piani formano realmente nel senso 

 ordinario delle parole un fascio ed una schiera di superficie quadriche); tra esse ve 

 ne sono due speciali, cioè scisse in coppie di fasci. Quando due rigate quadriche di 

 ima congruenza lineare sono coniugate armoniche rispetto alle 2 rigate speciali del 

 loro fascio, diremo che esse sono involutorie. 



Fmalmente. tra le rette eli una rigata quadrica si è condotti a considerarvi le 

 coppie di un'involuzione: in ogni involuzione vi sono due coppie speciali, cioè due 

 rette doppie. Due coppie di rette della rigata quadrica si potrebbero chiamare invo- 

 lutorie, quando sono coniugate ai'moniche rispetto alle due coppie speciali della in- 

 voluzione da esse determinata ; del resto è noto che in tal caso gli elementi di quelle 



2 coppie sono tra loro coniugati armonici, sicché 2 coppie involutorie di rette di 

 lina rigata quadrica formano un gruppo armonico. 



115. Dalle proposizioni generali ottenute nel § 2 della P parte segue imme- 

 diatamente : 



Esistono nello spazio R di rette co'" gruppi di 6 complessi lineari tali che due 

 complessi qualunque del gruppo sono involutori. Esistono in un complesso lineare di 

 rette o^'" gruppi di 5 congruenze lineari mutuamente involutorie. Vi sono in una con- 

 gruenza lineare generale oc" gruppi di 4 rigate quadriche tra loro involutorie. Vi 

 sono in una rigata quadrica generale oo^ gruppi di 3 coppie di rette a due a due 

 involutorie, cioè armoniche. 



In un gruppo di complessi lineari involutori uno qualunque di essi è tagliato 

 dagli altri secondo 5 congruenze lineari involutorie ; la congruenza determinata da 

 due di essi è tagliata dagli altri 4 secondo 4 rigate quadriche involutorie ; e final- 

 mente la rigata quadrica determinata da tre di essi è tagliata dagli altri 3 secondo 



3 coppie di rette formanti 3 gruppi armonici. Queste propiietà potrebbero servire 

 come punto di partenza per lo studio della notevole figura, a cui dà luogo il gruppo 

 di 6 complessi lineari involutori, studio che è dovuto al Kleix ('■). 



116. Consideriamo una quadrica qualunque -^ in uno spazio a più dimensioni; 

 preso fuori di essa un punto qualunque P di questo ed il suo piano polare - rispetto 



(*) Klei.n. Zui-Theorie dir Linieucomplexe 1 v.nd 2 Grades. Math. Aun. lid. 2, S. If 



