96 SULLA GEOMETRIA DELLA RETTA ECC. 



a o, essi determinano una trasformazione proiettiva notevole di quello spazio in se- 

 stesso, facendo cioè corrispondere tra loro due punti che stiano in un S\ passante 

 per F e siano coniugati armonici rispetto a P e al punto d'intersezione del S', 

 stesso con n. È facile vedere che si corrisponderanno i punti di due piani i quali 

 facciano fascio con n e siano coniugati armonici rispetto a tt ed al piano del loro 

 fascio passante per P. Dalla definizione del piano polare rispetto ad una quadrica 

 risulta poi rDimediatamente che in quella trasformazione la quadrica o si trasforma 

 in se stessa. Uno spazio lineare qualunque (contenuto in quello considerato) avrà per 

 corrispondente un altro spazio lineare ad altrettante dimensioni, il quale coinciderà 

 col primo sia quando passi pel punto P, sia quando stia nel piano n. In particolare 

 gli spazi lineari di w si corrisponderanno tra loro e se il numero delle dimensioni 

 di 9 è numero pari 2j) si corrisponderanno l'uno all'altro i due sistemi distinti di 

 S' che sono contenuti in co, si che due S' corrispondenti si taglieranno in un S'^_, 

 giacente su - (*). — Ciò premesso abbiamo particolaiizzando : 



Un' complesso lineare di rette e determina una corrispondenza nello spazio in 

 cui sono coniugati a coppie : le rette dello spazio, in modo che le rette che tagliano 

 una coppia di rette coniugate appartengono al complesso; i punti ed i piani dello 

 spazio in modo che un punto ed un piano corrispondenti hanno comune un fascio 

 di rette del complesso ; i complessi lineari qualunque in modo che due complessi cor- 

 rispondenti fanno fascio col complesso dato e sono coniugati armonici rispetto a questo 

 ed a quel suo complesso involutorio che sta nel fascio stesso ; e via dicendo. In par- 

 ticolare corrispondono a se stessi rispetto al complesso lineare le sue rette e i com- 

 plessi lineari, che gli sono involutori. 



In un complesso lineare di rette considerando una congi'uenza lineare qualunque, 

 essa determina una corrispondenza tra le rette del complesso a due a due , essendo 

 corrispondenti due rette del complesso tali che quelle che le tagliano costituiscono 

 una rigata quadrica contenuta nella congruenza lineare. Si vede facilmente che questa 

 definizione dell' rette corrispondenti equivale a quest'altra: siano date le direttrici 

 della congruenza considerata e per esse e la retta di cui si vuole la corrispondente 

 rispetto a questa congruenza si conduca una rigata quadi'ica , nella quale si prenda 

 quella generatrice che è coniugata armonica della retta data rispetto a quelle diret- 

 trici : la retta così ottenuta sarà la corrispondente di quella. In tal modo si fanno 

 corrispondere tra loro i fasci di rette del complesso lineare e quindi anche i punti 

 ed i piani dello spazio, poiché ogni punto ed ogni piano dello spazio contengono un 

 tal fascio. Questa corrispondenza involutoria nello spazio ordinario non è altro clie 

 la involuzione cliiamata dai Tedeschi « geschaart », la i|uale si può anche consi- 

 derare indipendentemente da quel complesso lineare. 



In una congruenza lineare considerando una rigata quadrica qualunque , essa 

 determina una corrispondenza tra le rette di (juella congruenza, in modo che ai suoi 



(•) Si può considerare una corrispondenza in cui invece di un punto P ed un piano tt si ado- 

 perano due spazi lineari qualunque fissi, polai'i l'uno dell'altro rispetto a y. Sugli S\ che li tagliano 

 si prendono come corrispondenti i punti coniugati armonici rispetto ai 2 punti in cui si tagliano. Si 

 ha così una corrispondenza proiettiva involutoria, nella quale la quadrica » corrisponde a se stessa. 



