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fasci dell'un sistema corrispondono quelli dell'altro, essendo corrispondenti due fasci 

 aventi comune una retta di quella rigata. Allora ad una retta qualunque della con- 

 gruenza ne corrisponde un'altra che si determina come retta comune ai due fasci che 

 coriispondono rispetto alla data rigata a quei due clic contengono la prima retta. 

 Da questa costruzione segue che due rette corrispondenti così costrutte sono le dia- 

 gonali di un quadrilatero sghembo, di cui 2 lati opposti sono le direttrici della con- 

 gruenza , e gli altri 2 appartengono alla rigata quadiica , e quindi sono , nel senso 

 ordinario della parola, polari reciproche rispetto a questa, considerata come superficie 

 quadi'ica. Quindi la corrispondenza considerata si riduce alla polarità rispetto ad una 

 quadrica ordinaria. 



§ 3. 



Cenno siilìr rigati',, specialmente 'cubiche e quartiche. 



117. Le rigate non sono altro, come vedemmo, che spazi ad una dimensione 

 sullo spazio quadratico 7? a 4 dimensioni. Tutte le loro principali proprietà si pos- 

 sono ottenere considerandole come tali. Cos'i un it°, su R ha degli S\ osculatori che 

 si ottengono congiungendone 3 elementi consecutivi ; alcuni di questi S\ in numero 

 finito taglieranno II in un -S"", speciale, cioè scisso in due S\. Per eccezione poi 

 ri2°, può esser tale che in un suo elemento vi sia un S\ stazionario , cioè con- 

 giungente quell'elemento non solo a due, ma a tre elementi consecutivi. Dunque: 



Ogni generatrice di una rigata qualunque ha una rigata quadrica osculatrice (*), 

 la quale congiuuge quella generatrice alle 2 consecutive ed ha quindi la rigata qua- 

 drica coniugata composta delle tangenti principali (usando i termini della geometria 

 dello spazio ordinario di punti) della superficie aventi in quella generatrice i punti 

 di contatto. Vi sono poi in generale alcune generatrici , per ciascuna delle quali la 

 rigata quadrica osculatrice si scinde in due fasci, di cui uno passante per le gene- 

 ratrici stesse. Una tale generatrice sarà una generatrice singolare , cioè sarà carat- 

 terizzata dal tagliare la generatrice consecutiva , donde segue immediatamente che i 

 suoi punti avranno uno stesso piano tangente. Per eccezione poi può la rigata avere 

 una generatrice tale che la rigata quadrica osculatoria sia stazionaria, cioè contenga 

 anche le 3 generatrici consecutive: le rette della rigata coniugata sono allora tan- 

 genti quadripunte della superficie. Queste generatrici, i cui punti sono punti di con- 

 tatto di tangenti quadripunte, furono dal Voss, che prima le considerò (**), chiamate 

 « hyperholische Erzeugende », cioè generatrici iperboliche. 



Similmente di un jR", su It possiamo considerare in ogni elemento V S ^ oscu- 

 latore, il quale lo congiunge ai 3 elementi consecutivi , e l'-S'',^ osculatore , il quale 

 lo congiunge ai 4 elementi consecutivi ; sia quello sia questo possono divenire sta- 

 zionari pel contenere ancora un altro elemento consecutivo {r>S"3 soltanto per degli 

 B^^ speciali), e possono divenire tangenti alla quadrica R. Dunque : 



(*; V. PLUCK.ER. TIléorie generale des surfaces réyléis. — Annali di matematica, T. 1°, serie ^'^ 

 (1867;, alla pag. 163. 



(") V. Voss. Zur Theorie der loindschiefen Flrichen. — Mathematische Annalen, Vili a pag. 94 



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