■98 SULLA GEOMETELV DELLA RETTA ECC. 



Ogni generatrice di una rigata ha una congruenza lineare osculatrice, la quale 

 la contiene insieme colle tre generatrici consecutive, e un complesso lineare osculatore, 

 che la congiunge alle 4 generatrici consecutive. È chiaro che le due direttrici di 

 quella congi'uenza sono tangenti quadripunte della superiicie, cosicché vi sono su ogni 

 generatrice in generale 2 punti di contatto di tangenti quadripunte, e quindi la curva 

 delle tangenti quadripunte è tagliata da ogni generatrice in 2 punti. Vi sono alcune 

 generatrici particolari tangenti a quella curva ; quelle cioè per cui la congruenza 

 lineare osculatrice è speciale. Vi sono poi anche rigate speciali aventi qualche gene- 

 ratrice in cui la congruenza lineare osculatrice è stazionaria; allora le direttrici di 

 questa congi'uenza hanno contatto 5 - punto colla superficie. — In ogni rigata vi 

 sono in generale generatrici per le quali il complesso lineare osculatore diventa spe- 

 ciale: allora l'asse di questo è tangente 5 -punto della superficie. Vi sono poi anche 

 generatrici in cui il complesso lineare osculatore è stazionario, cioè congiunge 6 ge- 

 neratrici consecutive. 



118. È pure facile dimostrare l'esistenza e le proprietà della cui'va doppia 

 •della rigata. Consideriamo l'i?", su M ed in un suo elemento qualunque si prenda 

 r^''^ tangente ad H: taglierà l'jR', in altri g — 2 elementi. Dunque: 



Ogni generatrice di una rigata di grado g si appoggia su altre g—2, cosicché 

 la crtrva doppia della superficie taglia ogni generatrice in ^ — 2 punti. 



Ed altre proposizioni ancora si otterrebbero col nostro metodo colla stessa fa- 

 cilità, ma le lasciamo da j)arte per non dilungarci troppo. 



119. Dai teoremi dimostrati al u° 7 risulta che un modo natui-ale di classi- 

 ficare le rigate di dato grado ^ è di distinguerle anzitutto a seconda che non stanno 

 in un complesso lineare, o stanno in un complesso lineare, o stanno in ima congruenza 

 lineare (Si potrebbe aggiungere il caso in cui stanno in un piano od in un punto 

 di rette, ma allora si hanno inviluppi piani di classe g e coni d'ordine g, e di queste 

 rigate speciali è'^più conveniente occuparsi a parte, come spazi algebrici ad una di- 

 mensione contenuti in spazi lineari a 2 dimensioni). In pai'ticolare lo studio delle 

 rigate di una congruenza lineare è lo studio degli S, su un S\ , vale a dii'e equivale 

 perfettamente alla geometria delle curve su una quadiica ordinaria; dove questa qua- 

 drica si specializzerà in im cono quando la congruenza lineare, che si considera, di- 

 venti speciale per venire ad essere infinitamente vicine le sue direttrici. Questa equiva- 

 lenza perfetta tra la geometria delle rigate di una congruenza lineare e la geometria 

 delle curve su una quadiica ordinaria è assai importante, come vedremo tosto. 



120. Dalle cose dette alla fine del ii° 7 segue che una rigata cubica sta 

 sempre in una congruenza lineare, generale o speciale ('■•), sicché la geometria delle 

 rigate cubiche equivale alla geometria delle cubiche su una quadrica . la quale si 



(*) Questa semplicissima dimostrazione diretta di questo teorema sulle rigate cubiche si trova 

 nella memoria del Clifford « On the dassificaiion of Loci «, che già avemmo occasione di citare 

 (Philosoph. Trausact., voi. 169. V. pag. 6(34}. 



