100 SULLA GEOMETRIA DELLA EETTA ECC. 



iu 2 punti da ogni generati'ice di ciascun sistema della quadi-ica fissa ; mentre quelle 

 di 2" specie non stanno su altre quadriche e sono tagliate dalle generatrici di un si- 

 stema in 3 punti, da quelle dell'altro in un punto solo. Dunque: 



Vi sono due specie di rigate di 4° grado appartenenti ad una congruenza 

 lineare. Ogni rigata della 1' specie è intersezione di quella congruenza con infiniti 

 complessi quadratici e quindi ha entrambe le direttrici della congruenza lineare 

 per rette doppie sia come luoghi di punti, sia come inviluppi di piani. Una ri- 

 gata della 2^ specie invece non appartiene ad alcun complesso quadratico {il quale 

 non contenga tutta la congruenza lineare) ed ha in ogni fascio di rette della con- 

 gruenza di un sistema 3 generatrici , in ogni fascio delValtro sistema una sola 

 generatrice, cosicché ttna direttrice è tripla come luogo e semplice come inviluppo, 

 mentre l'altra è semplice come luogo e tripla come inviluppo. — La congruenza 

 lineare a cui appartengono queste rigate di A° grado può anche specializzarsi ve- 

 nendo le due direttrici a coincidere. 



Noi in seguito avi-emo solo da considerare tra le l'igate di 4" grado quelle ap- 

 partenenti ad una congi'uenza lineare ed intersezioni di questa con complessi qua- 

 dratici, cioè quelle di 1' specie; quindi le indicheremo per brevità col nome di rigate 

 biquadratiche. Ad esse sono applicabili tutte le proprietà delle ordinarie quartiche 

 d'intersezione di quadriche, di cui alcune furono appunto trovate in questo lavoro. 



§ 4. 



Complesso e congruenza quadratici e rigata, biquadratica. 

 Loro generazioni, e spazi notevoli in essi contenuti. 



122. Dalle definizioni date del complesso quadratico, della congruenza quadra- 

 tica e della rigata biquadratica risulta che essi non sono altro che quartiche (inter- 

 sezioni di quadiiche) rispettivamente a 3, a 2 e ad 1, dimensioni. Quindi basterà che 

 noi nella teoria delle quartiche svolta neUa 2' Parte di questo lavoro poniamo suc- 

 cessivamente «. = 6, 5, 4, per avere la teoria di quelli. Però bisognerà notare che 

 tra le quadriche passanti per quelle quartiche che vogliamo considerare ve n' è sempre 

 una notevole : quella che ha per elementi le rette. Pel comi^lesso quadratico essa è 

 lo spazio R,^ a 4 dimensioni di rette; per la congi-uenza quadi'atica essa è il com- 

 plesso lineare .Rj di rette in cui questa congruenza è sempre contenuta; per la ri- 

 gata biquadratica essa è la congruenza lineare di rette B, che la contiene. In cia- 

 scuno dei tre casi questa quadrica, che nel fascio delle quadriche passanti per la 

 quartica considerata ha speciale importanza, va sempre considerata più particolarmente 

 delle altre: le trasformazioni proiettive degli spazi lineari che noi ora consideriamo, 

 trattandosi di geometria della retta, devono sempre esser tali da trasformare quella 

 tal quadrica in se stessa. Quindi una prima osservazione da fare è se quella quadrica 

 si specializza (come luogo, poiché noi l'abbiamo definita od ottenuta solo come su- 

 perficie-luogo), e in qual modo. Ora, quanto al complesso quadratico 1' J?,, in cui è 



