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Cose simili si trovano nel caso in cui il complesso lineare, al quale appartiene 

 la congruenza quadratica, sia speciale. In tal caso nella caratteristica della congruenza 

 vi sarà un indice caratteristico isolato, il (juale corrisponderà appunto alla quadrica 

 a o dimensioni speciale H, delle rette di quel complesso lineare : quell' indice carat- 

 teristico verrà distinto dagli altri con una lineetta oi'izzontale posta al disopi-a. 



125. Una rigata biquadrufica della s2kcìc phì gencyaìc [1111] Ita 4 rigate 

 quadriche della congruenza lineare (supposta non speciale) cui essa appartiene 

 fondamentali, cioè tali che rispetto a ciascuna di quelle 4 quadriche la rigata bi- 

 quadratica è polare di se stessa; ciasctma di quelle 4 quadriche poi è polare di 

 se stessa rispetto a ciascun altra. Vi è un determinato gruppo di 4 complessi li- 

 neari involutori tra loro ed ai complessi lineari passanti per quella, congruenza 

 lineare (cioè passanti essi stessi per le direttrici' di questa) e che tagliano questa 

 congruenza appunto secondo le 4 rigate quadriche fondamentali: questi complessi 

 lineari sono pure tali che rispetto a ciascuno di essi la rigata biquadratica cor- 

 risponde a se stessa. — La rigata biquadratica può poi avere uno o due fasci 

 di quadriche fondamentali, ma in tal caso essa stessa si scinde in due rigate qua- 

 driche. Se poi una rigata quadrica fondamentale è speciale, cioè scissa in due 

 fasci aventi conmne una retta, questa sarà una generatrice doppia per la rigata 

 biquadratica. — Del resto la classificazione delle rigate biquadratiche coincide con 

 quella già fatta (V. n° 80) delle quarticlie intersezioni di quadi-iclie a 2 dimensioni 

 e quindi si deduce immediatamente da questa con solo cambiamento di parole E 

 questo appunto faremo più tardi. 



La congruenza Hneare cui appartiene la rigata biquadi-atica può essere speciale, 

 avendo le due dii'ettrici infinitamente vicine, od anche doppiamente specializzata scin- 

 dendosi in un piano ed un punto uniti ; nel 1° caso nella caratteristica della rigata 

 biquadratica vi sarà un indice caratteristico isolato corrispondente alla congruenza 

 lineare speciale, nel 2° caso il gruppo di due indici caratteristici. Noteremo sempre 

 con una lineetta orizzontale superiore nel l" caso quell'indice, nel 2° quella coppia 

 d'indici, che si riferiscono alla congruenza lineare. 



126. Passiamo ora alla ricerca degli spazi piìi semplici di rette contenuti nel 

 complesso e nella congruenza quadi'atici ed alla generazione proiettiva di essi e della 

 rigata biquadratica. Basterà perciò che particolarizziamo i risultati del § 2 della 

 2" Parte (*). 



(*) Nella generazione con sistemi reciproci di piani di una quadrica a piti dimensioni vedemmo 

 (n' 44) che l'ordine d'infinità di quei sistemi di piani si può scegliere ad arbitrio da un certo minimo 

 in su. Noi nelle applicazioni ci limitiamo a considerare questo minimo ^rdine d'infinità, come quello 

 che dà il modo più importante in generale di generare la quadrica. Se si tenesse anche conto degli 

 altri modi si avrebbe ad esempio che ogni complesso quadratico si può generare mediante due spazi 

 reciproci di rette, cioè due spazi in cui ad ogni retta dell'uno corrisponde un complesso lineare di 

 rette e viceversa; sarebbe cioè il complesso quadratico il luogo di quelle rette che stanno nei complessi 

 lineari corrispondenti. Un caso particolare semplicissimo ben noto di questo modo di generazione è 

 quello del complesso ^fi«ra«d?-a!e (la cui caratteristica vedremo essere [CH)(11)('0] co™e luogo di 

 quelle rette di uno spazio che tagliano le rette corrispondenti di uno spazio omografico ; un altro 



