104 SULLA GEOMETEIA BELLA RETTA ECC. 



Ogni complesso quadratico ha co' generazioni (V. n° 56) coi-rispondenteinente 

 al fascio di *S", che nello spazio lineare /S a 5 dimensioni passano per esso. Ora ogni 

 S^, contiene in generale co' S^ formanti 2 sistemi distinti, sì che due che siano dello 

 stesso sistema hanno un elemento comune e quindi stanno in un S!^ , mentre ciò non 

 accade per due di diverso sistema, i quali possono però avere per eccezione un S^ 

 comune e quindi stare in un S,'. Per un elemento qualunque del S""^ passano co' S^ 

 di ciascun sistema. Un *S',^^ non contiene degli S^, a meno che sia due volte specia- 

 lizzato, cioè abbia un «S',' doppio, nel qual caso gli S^ che contiene passeranno per 

 questo. Finalmente ricordiamo un risultato ottenuto alla iine del n° 45 sul modo di 

 generare un S,^. Tagliando poi tutto con E , quadrica a 4 dimensioni delle rette, 

 noi abbiamo: 



Un complesso quadratico ha oo' generazioni. Fer ciascuna generazione esso 

 contiene due diversi sistemi di co^ rigate quadriche tali che due rigate dello stesso 

 sistema sono contenute in un complesso lineare e possono aver comune (per ecce- 

 zione) una sola retta, mentre due rigate di diverso sistema non stanno in gene- 

 rale in uno stesso complesso lineare, ma per eccezione possono stare in una con- 

 gruenza lineare avendo di comune in tal caso due rette. Bue rigate quadriche di 

 generazioni diverse non hanno in generale nulla di comune. Per ogni retta del 

 complesso passano co' rigate quadriche di ciascun sistema di una data genera- 

 zione. — Notevole tra le oo generazioni è quella che corrisponde ad H: essa si 

 ha considerando le rette comuni al complesso ed ai piani e punti di rette dello spazio, 

 sicché i due sistemi di rigate quadriclie appartenenti a questa generazione sono 

 costituiti dalle oo' coniche e dagli oo' coni del complesso quadratico. — Note- 

 voli sono pure quelle generazioni che corrispondono agli S^ specializzati: per ogni 

 generazione corrispondente ad tm S,^ semplicemente specializzato i due sistemi di 

 rigate quadriche coincidono e ognuna delle oo" quadriche rigate che così si hanno 

 è involutoria al complesso fondamentale del dato complesso quadratico, il quale 

 corrisponde a quel S^, vale a dire ogni rigata quadrica di quella generazione cor- 

 risponde a se stessa rispetto a quel complesso fondamentale ed ha quindi la rigata 

 quadrica coniugata contenuta in questo. Queste generazioni speciali sono tante quanti 

 sono i complessi fondamentali isolati del dato complesso quadratico, cioè quanti 

 sono gl'indici caratteristici isolati nella caratteristica di questo. Ma se in questa 

 caratteristica entra un gruppo caratteristico composto di due o piii indici, allora 

 la generazione a cui quello corrisponde sarà due o più volte specializzata e con- 

 terrà quindi non solo rigate quadriche, ma congruenze lineari contenute nel com- 

 plesso quadratico (mentre in generale' il complesso non contiene delle congruenze 

 lineari). In tal caso queste congruenze lineari formano dtie diversi sistemi pas- 



caso notevole, che credo non sia ancora stato considerato, è quello del complesso delle rette di uno 

 spazio che tagliano le l'ette corrispondenti di uno spazio correlativo. Questo complesso quadratico è 

 più generale di quello tetraedrale, avendo per caratteristica [(ll)(ll) 11]; la sua superficie singolare 

 è perciò, come vedremo, scissa in due quadriche tagliantisi in 4 rette, e queste quadriche non sono 

 altro risp. che il luogo dei punti e l'inviluppo dei piani, i quali sono in posizione unita cogli ele- 

 menti corrispondenti nella correlatività. Lo studio di questa in relazione con quel complesso quadratico 

 è assai interessante; ma qui delibo limitarmi a quest'indicazione. 



