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santi sempre ^cr ìc rette iloppie del coìuplesso corrispondoifi a quel grup;po carat- 

 teristico e tali che due congrueme dello stesso sistema non hanno altre rette co- 

 muni, mentre due congruenze di diverso sistema hanno comune una rigata quadrica. 

 Si J3UÒ senijprc generare il complesso quadratico con due stelle reciproclte di com- 

 plessi lineari passanti per 2 rigate quadrichc prese ad arbitrio nel complesso qua- 

 dratico, in modo però che una di esse appartenga all'ano, l'altra all'altro dei due 

 diversi sistemi di una stessa generazione ; ad ogni complesso lineare e ad ogni 

 congruenza lineare dell' una stella corrisponderanno nelV altra rispettivamente una con- 

 gruenza ed un complesso lineari, e le intersezioni dei complessi e delle congruenze 

 corrispondenti saranno rigate quadrichc che costituiranno i due sistemi apparte- 

 nenti a quella generazione e genereranno completamente il dato complesso quadra- 

 tico. Non si può in generale generare il complesso quadratico mediante le inter- 

 sezioni di due fasci proiettivi di complessi lineari; ciò è solo possibile quando vi 

 è nella caratteristica un gruppo di due o più indici, cioè quando vi è una gene- 

 razione due piic volte specializzata del complesso quadratico. In tal caso nei due 

 diversi sistemi di congruenze lineari che vedemmo costituire quella generazione si 

 potranno prendere ad arbitrio due congruenze dello stesso sistema come sostegni di 

 due fasci proiettivi di complessi lineari atti a generare il complesso quadratico ; 

 le congruenze d'intersezione dei complessi lineari corrispondenti costituiranno l'altro 

 sistema. Viceversa due fasci proiettivi di complessi lineari generano un complesso 

 quadratico, di cui la caratteristica contiene almeno tm gruppo di due o più indici. 

 Quindi noi siamo in grado di dire dal semplice esame della caratteristica di un 

 complesso quadratico se esso sia generabile con fasci proiettivi di complessi lineari, 

 se si può soltanto generarlo con stelle reciproche; ed inoltre in quanti modi si 

 possa generarlo colVuno o coll'altro mezzo (*). 



127. Passando ora alla congruenza quadratica, quartica in uno spazio a 4 dimen- 

 sioni, noi sappiamo che un *S"^3 qualunque contiene solo in generale degli S', e non 

 degli S\ e quindi è generabile solo con stelle reciproche e non con fasci proiettivi; 

 salvo il caso in cui quel S^^ sia specializzato per uno od infiniti elementi doppi, nel 

 qual caso esso contiene degli S\ passanti per gli elementi doppi ed è generabile con 

 fasci proiettivi di S'j passanti per questi. Inoltre se supponiamo l'S^^^ semplicemente 

 specializzato sappiamo che gli S\ contenuti in esso formano due sistemi, sì che due 

 S'^ si tagliano, oltre che nell'elemento doppio , in un S', solo quando siano di di- 



(*) Alcune delle proposizioni così trovate , cioè quelle sulle rigate quadriche contenute in un 

 complesso quadratico qualunque, formanti »' generazioni, ciascuna con 2 diversi sistemi, e sulla 

 generabilità di ogni tal complesso mediante due stelle reciproche di complessi e congruenze lineari , 

 furono trovati recentemente per tutt'altra via dallo Schor nella sua notevole « Inauguro.ldissertation » 

 intitolata n Geometrische L'ntersuchungen v.ber Strahlencomplexe 1. und 2. Grades » (Berlin, 1879) 

 (V. specialmente a pag. 33-36,. È questo il primo lavoro in cui si siano studiati sinteticamente i com- 

 plessi quadratici generali, poiché prima di esso Io studio sintetico si era limitato ad alcuni com- 

 plessi notevoli , come quello tetraedale ed i complessi quadratici che si possono generare con fasci 

 proiettivi di complessi lineari. — Quanto alle »* rigate quadriche contenute in un complesso qua- 

 dratico qualunque esse furono prima trovate mediante la rappresentazione del complesso sullo spazio 

 lineare a 3 dimensioni del Caporali nella memoria « Sui complessi e sulle congruenze di 2° grado <> 

 (Memorie della R. A. d. Lincei, serie 3^, voi. ì", anno 1877-78) a pag. 13. 



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