106 SULLA GEOMETRIA DELLA KETTA ECC. 



Terso sistema, e quindi allora soltanto essi son contenuti in un *S'', . Per ogni ele- 

 mento del S''} speciale passa un determinato S\ per ciascun sistema. Osserviamo 

 anche che due S\ appartenenti a due diversi xS'^j speciali hanno sempre un elemento 

 «omune, il quale apparterrà alla quartica d'intersezione di quei due /S'^j . Ciò pre- 

 messo, possiamo enunciare le seguenti proposizioni intorno alle congruenze quadratiche. 



Una congruenza quadratica si può generare in infiniti modi mediante stelle 

 reciproche di congruenze lineari appartenenti al complesso lineare che la contiene.' 

 Essa ha poi per generazioni notevoli quelle che corrispondono ai vari gruppi di 

 indici della sua caratteristica, e quindi 5 nel caso più generale. Per ciascuna gene- 

 razione siffatta la congruenza contiene 2 sistemi distinti di oo' rigate quadriche, sì 

 che per ogni retta della congruenza ne passa, una di ciascun sistema. Ciascuna 

 di queste rigate quadriche corrisponde a se stessa rispetto alla congruenza lineare 

 fondamentale (od al fascio di congruenze fondamentali) della congruenza qua- 

 dratica, che corrisponde a quella generazione. Due rigate della stessa generazione 

 non hanno rette eoommi se sono dello stesso sistema (od hanno solo comune ogni 

 retta doppia, della congruenza c[uadratica, la quale corrisponda, a quella genera- 

 zione), ma hanno due rette comuni, cioè stanno in una congruenza, lineare se sono 

 di diverso sistema. Due rigate quadriche di generazioni diverse hanno comune una 

 sola retta della congruenza quadratica. 



Per ciascuna delle generazioni considerate di una congruenza quadratica si 

 può costrurre questa come luogo delle rigate d'intersezione delle congruenze lineari 

 corri. 'spandenti di due fasci proiettivi di congruenze lineari del dato complesso 

 lineare (contenente la congruenza quadratica) , i cui sostegni sono due rigate qua- 

 driche arbitrarie dello stesso sistema di quella generazione della congruenza qua- 

 dratica : le rigate d'intersezione così ottenute formano appunto l'altro sistema di 

 quella generazione (*). 



128. Finalmente per la rigata biquadratica notiamo che ogni quadiùca nello 

 spazio lineare a 3 dimensioni si genera con 2 fasci proiettivi di ^S*'^ in infiniti (oo^) 

 modi formanti due sistemi diversi (se la quadrica non è specializzata) corrispondenti 

 ai due sistemi di generatrici che stanno su quella quadrica. Quindi anche ogni quartica 

 su una quadrica fissa s si può generare come intersezione di due fasci proiettivi di 

 ;S'^, di -^ (intendendo per fascio di >S"', l'insieme di tutti quelli che passano per 2 ele- 

 menti fissi di o) in 'yy' modi ; la quartica contiene le 2 coppie di elementi formanti 

 le basi di quei due fasci. Si possono prendere ad arbitrio solo 3 dei 4 elementi 

 detti, poiché per l'^S",' congiungente una coppia di questi passerà solo una determi- 

 nata quadrica del fascio, la quale avrà solo una generatrice passante pel terzo ele- 



') Anche i teoremi sulle 5 coppie di sistemi di rigate quadriche contenute nel caso più generale 

 in una congruenza quadratica , e la generazione di questa con fasci proiettivi di congruenze lineari 

 si trovano nella memoria dello Schur 'pag. 17, 18). Ma quanto all'esistenza dei 10 sistemi di rigate 

 quadriche, essa era già nota prima di questa memoria. Essa fu accennata, credo per la prima volta, 

 dal LiE nella memoria già citata « Ueber Complexe , etc. » Math. Ann., V a pag. ^47 nella 2' nota, 

 e fu poi dimostrata e approfondita dal Cremona nello scritto « Sulla corrispondema fra la teoria dei 

 sislemi di reUe e la teoria delle superficie » (Atti della R. Acc. d. Lincei, serie II, anno 3°, 1875). 



