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mento e dello stesso sistema di quel S\ e quella generatrice taglierà, f ancora in 

 un altro determinato elemento, che è il quarto elemento cercato. Queste proprietà, 

 valendo per uno spazio lineare qualunque a 3 dimensioni danno oltre a teoremi noti 

 per lo spazio ordinario i seguenti per la rigata biquadratica in una congruenza lineare 

 di rette : 



Ogni rigata biquadratica ai jìhò generare in oo' modi come luogo delle coppie 

 mobili di rette d'intersezione delle rigate quadriche corrispondenti di due fasci 

 appartenenti ad una stessa congruenza (Un tal fascio, considerate le rigate qua- 

 driche come superficie luoghi di punti si compone di quadriche passanti per 4 

 rette fìsse; i due fasci poi che generano la rigata biquadratica hanno comuni 2 

 rette di queste quaterne, cioè le due direttrici della congruenza lineare, sicché due 

 quadriche dei due fasci hanno ancora dìie altr egrette comuni). I sostegni di quei 

 due fasci sono due coppie di generatrici della rigata biquadratica; tre di queste 

 generatrici si possono prendere ad arbitrio, ma allora la quarta è perfettamente 

 determinata. 



§ 5. 



Folarità rispetto ai complessi quadratici. 

 Proprietà diverse di questi. 



129. La teoria generale svolta nel § 1 della 2* Parte sulla polarità rispetto- 

 ad una quartica o ad un fascio di quadriche in uno spazio di un numero qualunque 

 di dimensioni ci dà immediatamente i seguenti risultati. 



Ogni retta r dello spazio ha un fascio di complessi lineari polari rispetto ad 

 un dato complesso quadratico Q: essi corrispondono alle oo' generazioni di questo 

 (essendo essi gli «S^ d'intersezione con B, degli S\ polari di r rispetto alle quadriche 

 S"^^ di un fascio di base Q , che comprende R) e la corrispondenza è proiettiva , 

 sicché tutti i fasci di complessi lineari polari di rette dello spazio son fatti corri- 

 spondere proiettivamente tra loro dalle generazioni a cui corrispondono (*). Del fascio 

 di complessi lineari polari di r fa parte il complesso speciale avente r per asse (la 

 generazione di § a cui esso corrisponde è quella proveniente da R, cioè formata di 

 coni e coniche di Q) ed un altro complesso lineare speciale , il cui asse r' dicesi 

 retta polare di r rispetto a, Q , e che corrisponde ad una generazione particolare 

 di Q , la, quale però varia con r. La congruenza base del fascio di complessi polari 



{*) Si potrebbero considerare non solo i complessi polari di una retta, cioè di un complesso li- 

 neare speciale, rispetto ad un complesso quadratico, ma anche quelli di un complesso lineare qualunque 

 non speciale. Allora il fascio di comple.-si polari di un complesso lineare qualunque comprenderebbe 

 pure questo, e conterrebbe due complessi lineari speciali, le cui direttrici sarebbero coniugate rispetto 

 a questo. La teoria ordinaria della polarità rispetto ad un complesso quadratico riescirebbe in tal 

 modo più completa. Del resto questa estensione non presenta difficoltà, e quiddi la ometto per brevità. 

 — Per la stessa ragione ho omesso in questa 3* Parte del mio lavoro di fare applicazione delle teorie 

 generali svolte nelle prime due parti allo spazio dei complessi lineari, cioè alla teoria delle serie 

 quadratiche di complessi lineari, dei fasci di tali serie, ecc. , applicazione così evidente da parer su- 

 perflua. 



