108 SULLA GEOMETRIA DELLA FETTA ECC. 



di r, cioè la congruenza lineare di direttrici r, r , dicesi congruenza polare di r. Quando 

 la retta r appartiene al complesso quadratico Q , allora i suoi complessi polari diconsi 

 tangenti, e la congruenza lineare polare congruenza tangente in r s. Q: questa con- 

 gi'uenza è speciale, poiché la polai'e r di r viene in tal caso a coincidere con r. 



Se si considerano delle rette dello spazio soltanto i complessi polari corrispon- 

 denti ad una determinata generazione del complesso quadi-atico , esse danno luogo a 

 proprietà, che sono casi particolari della polarità rispetto ad una quadrica qualunque. 

 Così se una retta sta nel complesso polare di un'altra retta, il suo complesso polare pas- 

 serà per questa : e altre proposizioni analoghe che si trovano immediatamente e che non 

 stiamo neppiu'e a sviluppare, tanto più che si trovano già. almeno in parte, nell'opera 

 del Pliicker ("■). Notiamo anche come le oc? rigate quadriche, formanti 2 sistemi di- 

 stinti, contenute in Q, ed a cui dà origine una generazione del complesso quadratico, 

 danno il modo di costrurre geometricamente di una retta data il complesso polare 

 rispetto ad una generazione; questo modo è dovuto allo Schur (**). 



130. Se si considera una determinata generazione di Q, affinchè il complesso 

 polare di una retta r rispetto a quella generazione sia speciale e quindi abbia per 

 asse la retta polare r di r ci vuole una condizione , cosicché le rette r per cui si 

 verifica tale proprietà e le loro polari r' formeraimo due complessi che vogliamo stu- 

 diare. Perciò notiamo che la relazione tra gli elementi >•, r' della quadrica a 4 di- 

 mensioni M dello spazio lineare a 5 dimensioni S è questa che rispetto ad una quadrica 

 data C pui'e a 4 dimensioni (corrispondente alla generazione considerata di Q) r ha 

 per >S",j polare VS'^ tangente in r' ad M. A questo fine basta evidentemente che r 

 stia oltre che in J? anche sulla quadiica Ti' polare di R rispetto a C, cioè nella 

 quartica RB' che diremo K, ed allora r sarà elemento di contatto di li con un 

 S' ,^ tangente ad R ed R' . Tutti questi elementi di contatto formano su R una quar- 

 tica L omofocale alla quartica ^ (V. numeri 96, 99). Dunque: 



Le rette v dello spazio a cui corrispondono per complessi polari in una de- 

 terminata generazione del complesso quadratico Q dei complessi lineari speciali 

 di assir, come pure questi assi stessi, costituiscono a loro volta due complessi 

 quadratici K, L, / quali sono omofocali (cioè godono l'uno rispetto all'altro di pro- 

 prietà che presto vedremo). 



Se poi varia quella generazione, cioè se C muta nel fascio CR di base Q, allora 

 muta la polare R di R rispetto a C e quindi mutano quei due complessi quadratici 

 K, L. Ma non mutano gli elementi comuni a .BT e ^, giacché questi elementi 

 godono della proprietà di essere elementi singolari (come vedemmo al n° 94) per la 

 quartica Q (come posta su R). Noi diremo rette singolari di un complesso qua- 

 dratico ciò che diventano per questo gli elementi che definimmo come singolari per 

 una quartica qualunque. Ciò posto avi-erao : 



(') V. Plùcker. Neue Geometrie des Ravmes, pag. 306. 

 ['") V. Schur, loc. cit. , pag. 36 e .seg. 



