PER CORRADO SEGRE 109 



Variando la generazione considerata del comiìlcsso quadratico Q varia pure 

 il complesso Iv considerato, ma descrivendo un fascio . cioè passando sempre per 

 una congruenza dì 4 grado . elr rn<;f/f)>/<:r'' l'insieme delle rette singolari di Q. 



Dalla definizione data al a" 94 degli elementi singolari di una quartica qua- 

 lunque risulta che una retta singolare di ^ è caratterizzata dall'avere una congruenza 

 linearle tangente non semplicemente speciale, ma doppiamente specializzata, cioè scissa 

 in un piano ed un punto uniti, cioè dall'avere tutti i complessi polari speciali cogli 

 assi formanti il fascio di rette che è comune a quel piano ed a quel punto. Questo 

 fascio dicesi di rette corrispondenti a quella retta singolare (*), e quel piano e quel 

 punto si dicono singolari rispetto al complesso quadratico Q. — Ciò posto, risulta 

 di nuovo evidente che gli oo' complessi quadi-atici K. che corrispondono alle oo' ge- 

 nerazioni di Q, devono formare un fascio avente per base la congruenza delle rette 

 singolari di Q, perocché una retta r comune a due di quei complessi quadratici ha 

 rispetto a due diverse generazioni di Q per complessi polari dei complessi lineari 

 speciali, e quindi ha complessi polari speciali rispetto a tutte le generazioni , sicché 

 appartiene a tutti quegli oo' complessi quadratici ed è retta singolare di Q. 



131. La considerazione dei due complessi omofocali K ed L per ciascuna ge- 

 nerazione del complesso quadratico Q è molto importante {**). Essa intanto ci ha 

 già dato il significato geometrico di quel fascio di complessi quadi-atici che si vedono 

 comparire quando si cercano le rette singolai-i di Q. Ma ci condurrà ancora ad altri 

 risultati. Se consideriamo una generazione determinata di Q, p. e. quella che corrisponde 

 alla quadrica C. allora risulta dalla teoria della polarità rispetto ad una quadrica 

 sola C che ad un S' , od S\ contenuti in B corrispondono come polari rispetto a 

 C un sistema lineare semplicemente o doppiamente infinito di S'^ tangenti ad B' 

 (quadrica polare di B rispetto a C) : i loro elementi di contatto con questa forman» 

 pui'e un S\ od un (S''^ contenuto in B', i quali tagliano i? in 2 elementi ovvero 

 in un S^, facienti parte di B'B, cioè di K. E ai due diversi sistemi di S\ con- 

 tenuti in B coiTispondono per tal modo due sistemi di >?/ contenuti in K. Notiamo 

 inoltre che agli elementi di un S\ di B' corrispondono come S'^ polari rispetto a 

 C gli S'^ tangenti a B negli elementi di un ^S''^ contenuto in questo , e se i primi 

 furono presi su BB', cioè su un S\ di K, questi ultimi staranno in un iS"', di L. 

 In somma, dal fatto che L è la quartica di contatto di B colla sviluppabile degli 

 S\ tangenti comuni di B e B', segue che essa si può determinare come intersezione 

 di B colla quadrica polare di B' rispetto ad B, mentre K è appunto l'intersezione 

 di B' con B. Ciò posto, usando i termini della geometria della retta, abbiamo le 

 seguenti proposizioni : 



Iti una data generazione di Q i complessi lineari polari delle rette di un 

 fascio f formano pure un fascio proiettivo a quello ed avente per cUrettrici due 

 rette r', , r'^ del complesso L , polari delle due rette r, , r^ di quel fascio f , le 



(*) V. Klein. Zur Theorie derr Complexe erslen und iweiten Grndes, n" 2.5. 

 '^') Essa è dovuta allo Schdr. Loc. cit., pag. 40. 



