110 SULLA GEOMETRA HELLA RETTA ECC. 



qiiaìi appartengono ni complesso K. Ma vi sono anche in f due rette p', , p'^ 

 di L , le quali sono polari di due certe rette p, , p^ di K , de si appoggiano 

 iid r', , r'j,. 



Nella stessa generazione di Q i complessi polari delle rette di un punto o di 

 un piano formano una stella di complessi lineari aventi comune una rigata quadrica, 

 che diremo collo Schur rigata polare del punto o del 2^i(ino rispetto a quella ge- 

 nerazione di Q. Le rette di questa rigata appartengono al complesso K ed hamvo 

 per rette polari quelle, rette del complesso L, che stanno in quel pianto od in quel 

 piano (formandovi un cono quadrico od una conica). Le rette della rigata coniu- 

 gata a quella appartengono al complesso L e sono le polari delle rette di K che 

 stanno in quel punto od in quel piano (formandovi xmre un cono quadrico od 

 una conica). 



Variando il punto od il piano nello spazio, le rigate polari dei punti e le 

 rigate polari dei piani dello spazio formeranno i due sistemi diversi di co^ rigate 

 di una generazione del complesso quadratico 'K, mentre le rigate coniugate a quelle 

 formeranno i due sistemi di rigate di una generazione del complesso quadratico L, 

 che già notammo esser omofocnle a quello. 



132. Cambiando poi la generazione considerata di Q mutano pure i complessi 

 Z" ed i e le rigate polari dei punti e dei piani dello spazio. Quanto a queste rigate 

 notiamo clie dal risultato generale del n° 53 segue che il luogo degli S\ polari di 

 un S\ qualunque di R rispetto alle oa' quadriche a 4 dimensioni del fascio RC è 

 un S^^ che passa per quel S\ e quindi taglia ancora R in un Sj^^-'K Dunque: 



Le rigate quadriche polari di un piano (o di un punto) rispetto alle diverse 

 generazioni di un complesso quadratico, ossia le rette le cui polari rispetto a questo 

 complesso stanno in quel piano (od in quel punto) formano un sistema di rette di 

 3° ordine e 2' classe (o 3'' classe e 2° ordine). Le rigate coniugate a quelle , 

 cioè le rette polari delle rette di quel piano (o punto) formano pure un sistema di 

 rette di 3° ordine e 2' classe (o 3^ classe e 2° ordine) (*). 



Quanto alla 2'' parte di quest'enunciato essa è conseguenza evidente della 1" parte, 

 e del resto si potrebbe dimostrare direttamente collo stesso metodo semplicissimo usato 

 per questa. E collo stesso metodo ancora si dimostrano le seguenti proposizioni : 



I , Le rette polari di un dato fascio di rette rispetto ad un complesso quadratico 

 formano una rigata di 3° grado, e così pure le rette che hanno per polari le rette 

 del fascio dato (**). Aggiungiamo poi che la prima rigata di 3" grado delle polari 

 del fascio dato di rette è costituita dalle direttrici (non poste nel fascio stesso) 

 delle oo' congruenze lineari polari delle rette di questo fascio rispetto al complesso, 

 congruenze che costituiscono pure un complesso quadratico contenente anche tutte 



(") Queste proposizioni, insieme con altre notevoli, son dovute al Bertini ;« Sui complessi di 2" 

 grado ». Giornale di matematiche, 1879, voi. 17. — ' V. n' 4 e 6). 



(**) V. Bertini, ibid., n' 3 e 5, dove gli enunciati difTeriscono solo apparentemente da questi. 



