PER CORKADO SEGHE ] 1 1 



le rette del jj/a«o e qarììr del jìunto in citi sta quel fascio (complesso avente, per 

 quanto vedremo più tai\li, la caratteristica [(11)22], e la superficie singolare com- 

 posta di quella superficie rigata, di quel piano e di quel punto). Ogni retta di quei 

 complesso quadratico gode della proxmetà che la sua congruenza isolare rispetto 

 al dato contiene una retta di quel fascio, cioè che essa e la sua retta polare ta- 

 gliano una stessa retta di questo. Ecc., ecc. 



133. Proponiamoci questa questione.- Data una retta r, è individuata la retta 

 polai-e r' rispetto ad un dato complesso quadratico Q ; viceversa, se è data r' quante 

 sono le rette r di cui essa è polai'e ? Nello spazio S a. 5 dimensioni abbiamo dunque 

 VS\ tangente nell'elemento r' ad lì e vogliamo cercare un altro elemento r ài E 

 tale che abbia quel 6'', per polare rispetto ad una quadrica del fascio avente la 

 quai'tica Q per base. Ora i poli di quel S\^ rispetto a questo fascio di quadriche 

 formano (T. d° 55. dove si pone v = 6) un iS\, che taglierà R, oltre che in r', 

 in altri 9 elementi. Dunque: 



Ogni retta dello spctzio è in generale polare di altre 9 rette rispetto ad un 

 dato complesso quadratico. 



134. Notiamo ancora, riguardo alle rette polari, che una retta del complesso 

 Q ha se stessa per polare rispetto a questo ; cerchiamo se vi è una retta r non 

 appartenente al complesso, ma ancora tale che la sua polare r' abbia la stessa retta 

 r per polare. Nello spazio S sulla quadrica i? a 4 dimensioni si tratterà di trovare 

 due elementi ;■, r\ tali che gli S',^ tangenti in r, r ad R siano polari risp. di r 

 ed r rispetto a due quadiiche del fascio passante per Q , e quindi che per VS\ di loro 

 intersezione passino gli S' ,^ polari sia di ■>•, sia di r rispetto a tutte le quadriche del 

 fascio, ed in particolare gli S\ polari di r e di r rispetto ad ognuna delle quadriche 

 specializzate del fascio stesso. Ora o questa quadrica specializzata è tale che gli S' ,^ polari 

 di r e di r rispetto ad essa sono distinti, ed in tal caso il suo elemento doppio 

 (o la sua serie di elementi doppi) dovrà stare su entrambi quegli S\ polari e quindi 

 anche sul S'^ in cui essi si tagliano; oppure essa è tale che quei due 8\ polari 

 rispetto ad essa coincidono, ma perciò dovrà VS\ che congiunge r ed r contenere 

 un elemento doppio della quadrica stessa. D'altronde nel caso generale in cui Q ha 

 la caratteristica [111 HI], cioè in cui vi sono nel fascio 6 quadriche distinte sem- 

 plicemente specializzate, quel S\ non può contenere che gli elementi doppi di due 

 di queste, e deve contenerne due, poiché r/S''3 polare deve passare pei rimanenti ed 

 è individuato dal passare per 4 tali elementi; è poi chiaro che queste condizioni 

 sono sufficienti, cioè che ogni S' , , il quale congiunga 2 dei 6 elementi doppi delle 

 6 quadriche specializzate taglia R in due elementi r, r' soddisfacienti alla questione. 

 Dunque : 



Le (*) = 15 congruenze lineari di 6 complessi fondamentali di un complesso 

 quadratico generale presi a due a due sono le sole congruenze non speciali che 

 siano polari rispetto a quello di entrambe le direttrici: vale a dire le loro 15 



