112 SULLA. GE0.METK1A DELLA REITÀ ECC. 



coppie di direttrici sono le sole coppie di retta in ciascuna delle quali ognuna 

 delle due rette sia polare dell'altra rispetto al complesso qttadratico (*). 



La dimostrazione data mostra anche come vada modificato il teorema quando 

 il complesso quadratico non sia più generale. Così pel complesso quadi-atico [(11)1111] 

 le i-ette che sono reciprocamente polari rispetto ad esso sono oltre le (l) = Q coppie 

 di direttrici delle congi'uenze dei 4 complessi lineari fondamentali isolati presi due a 

 duo , tutte le rette di 4 rigate quadriche, le rigate comuni a tre di quei 4 complessi. E 

 cosi pel complesso quadi'atico [(111)111] vi sono le 3 coppie di direttrici delle con- 

 gruenze dai 3 complessi fondamentali isolati e poi tutte le rette delle congruenze 

 stesse. Ecc., ecc. 



135. Eitornando alle varie generazioni del complesso quadratico Q ed ai cor- 

 rispondenti comi^lessi quadratici .E" ed L , passiamo a considerare le generazioni spe- 

 ciali che corrispondono a quadriche a 4 dimensioni specializzate C. Quando C sia 

 semplicemente specializzata, e quindi coincidano per essa i due sistemi di S\, notiamo 

 che .E" è il luogo degli elementi di R, i cui S '^ polari rispetto a C toccano R , 

 mentre L è il luogo degli elementi di contatto ; quindi la considerazione del S'^ polare 

 dell'elemento doppio di C rispetto ad It mostra che L si riduce all'intersezione , 

 contata due volte, di quel S\ con R , mentre K si ha costruendo su quel S',^ la 

 qnadrica a 3 dimensioni polare di L rispetto all'intersezione del iS'^ con C e proiet- 

 tandola poi dall'elemento doppio di C, con che si ottiene pure una quadi'ica sem- 

 plicemente specializzata avente questo elemento come doppio e tagliante E secondo K. 

 Dunque: Una generazione specializzata di Q (V. n° 126) gode della proprietà che 

 il complesso quadratico K delle rette, che hanno per complessi polari rispetto ad 

 essa dei complessi lineari speciali è tale che gli assi di questi , cioè le polari delle 

 rette di K rispetto a Q sono le rette del complesso lineare L fondamentale dì ^ e 

 corrispondente a quella generazione. Questo complesso è pure fondamentale per K 

 (come del resto tutti i complessi fondamentali di Q) ; un punto e un piano che si 

 corrispondano rispetto ad esso hanno la stessa rigata polare rispetto alla generazione 

 considerata di Q, rigata che, muovendosi quel punto o quel piano viene a formare 

 il complesso K , anzi la generazione specializzata di K , che corrisponde al complesso 

 fondamentale L. Ogni retta di L è polare rispetto a § di due rette di K, rette 

 che si corrispondono rispetto ad L ; cosicché il complesso quadratico K è rappre- 

 sentato sul complesso lineare L con una corrispondenza (2, 1). E siccome risulta 

 evidente che K è un complesso quadratico generale, così si vede che va risposto af- 

 fermativamente alla domanda che lo Schur fa e lascia sospesa a questo proposito ('•■'*). 



(*) Questo teorema è dovuto al Klein (loo. cit. , n» 23) , e si trova dimostrato geometricamente 

 nella memoria del Bertini al n° 12, con una dimostrazione notevole, anche perchè conduce ad altre 

 proposizioni, ma che però non presenta il vantaggio, che ha la nostra, dì far uso esclusivo della geo- 

 metria della retta. 



("*) V. Schur, loc. cit., pag. 46 e nota ultima. 



