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§. 6. 



Beffe singolari di un conqjìesso quadrnfico. Complessi omofocaìi. 

 Superficie singolare. Invarianfi assoluti. 



136. Abbiamo già definito nel § precedente che cosa s'intenda per una retta 

 singolare e per fascio delle sue rette corrispondenti. Ciò posto dalla data definizione 

 (V. n" 130) e dalle cose esposte in generale ai n' 92, 94 e seg. sui punti singolari 

 di una quartica qualunque risultano immediatamente tutte le proposizioni seguenti: 



Una retta singolare r del complesso quadratico Q ha per complessi polari ri- 

 spetto a questo un fascio di complessi speciali, i cui assi formano un fascio colla retta 

 stessa, il fascio delle rette corrispondenti a quella retta singolare. Questo fascio è con- 

 tenuto in un piano ed in un punto che diconsi singolari rispetto al complesso e go- 

 dono della proprietà che la conica ed il cono di rette del complesso, che giacciono 

 rispettivamente in essi, si scindono in due coppie di fasci, venendo ad avere r come 

 retta doppia (V. n° 96). Viceversa ogni punto od ogni piano, per cui le rette del 

 complesso che vi giacciono formano due fasci di rette, è singolare rispetto al com- 

 plesso, cioè la retta comune a quei due fasci è retta singolare del complesso ed ha 

 quel punto. quel piano per punto o piano singolare corrispondente. Ogni retta sin- 

 golare r è dunque contenuta in 3 piani n, a, j3 ed in 3 punti P, A, B va. modo 

 che il fascio delle sue rette corrispondenti è il fascio comune a P e -, e che nel 

 piano - le rette del complesso formano due fasci contenuti nei punti A e B, e nel 

 punto P le rette del complesso formano due fasci contenuti nei piani « e |3. Da 

 quanto dicemmo segue che P e tz sono punto e piano singolari corrispondenti ad r 

 e che anche i punti A, B eà i piani a, ^ sono singolari, ma corrispondenti a rette 

 singolari del complesso diverse da r in generale. 



Le rette singolari di un complesso quadratico qualunque formano in generale 

 una congruenza di 4" grado, e noi non solo ne conosciamo le equazioni più generali 

 (Y. n" 94j, ma abbiamo anche visto nel § precedente (n° 130) quale sia il signi- 

 ficato geometrico del fascio di complessi quadratici passanti per quella congruenza. 



137. Diremo retta singolare di 2° ordine di un complesso quadratico (V. n° 95) 

 una retta singolai-e tale che il fascio delle sue rette corrispondenti si componga di rette 

 appartenenti al complesso stesso, e retta singolare di 3° ordine una retta singolare 

 le cui rette col-rispondenti siano pure singolari (di 1° ordine). Un complesso qua- 

 dratico ha nel caso piìo generale per rette singolari di 2° ordine le generatrici di 

 una rigata di grado 16; ed ha pure in generale 32 rette singolari di 3° ordine 

 appartenenti naturalmente a quella rigata. Questi numeri risultano dal fatto che le 

 equazioni, le quaK determinano queste rette singolari di 2° e 3' ordine, equazioni da 

 noi date sotto la forma più generale (V. n° 95) sono quadratiche ed in numero ri- 

 spettivamente di 4 e di 5 (*). 



;') Il Kleis (loc. cit., 11° 25) considerò pure sotto altro nome queste due specie di rette singolari 



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