114 SULLA GEOMETRIA DELLA EETl'A ECC. 



138. Noi abbiamo già visto che il complesso quath-atico contiene oo* rigate 

 quadi'iclie, come caso particolare del numero degli S,'' contenuti in una quartica qua- 

 lunque. Similmente come caso particolare dei risultati del n" 60 abbiamo che il com- 

 plesso quadratico contiene •^o'- >?/, cioè fasci di rette. I punti ed i piani in cui questi 

 fasci son contenuti sono appunto i punti ed i piani singolari già considerati. Questi 

 punti e questi piani essendo in numero doppiamente infinito formano dunque ciò che 

 nella geometria ordinaria si chiama rispettivamente superficie-luogo e superficie-invi- 

 luppo, cosicché al complesso quadratico corrisponde una supei-ficie dei punti singolari 

 ed una superficie dei piani singolari. Vedi-emo presto la relazione intima in cui stanno. 



139. Nello spazio S lineare a 5 dimensioni una schiera di quadriche che com- 

 prenda B taglia questa secondo un sistema di quartiche, che dicemmo omofocali (V. 

 n" 96). Diremo dunque complessi quadratici omofocali i complessi di rette da esse 

 costituiti ; e dai risultati generali ivi trovati avremo immediatamente i teoremi seguenti : 



Una serie eli complessi quadratici omofocali si compone di complessi tali che 

 una retta singolare delViino ha per rette corrispondenti rette singolari degli altri, 

 cosicché vi è un complesso di rette di grado 12 (iin S^"^ ' per n = Q, cioè un S^\ — 

 V. «° 92) composto di oo^ fasci che sono di rette corrispondenti a rette singolari 

 pjer ogni complesso quadratico della serie, sicché quel complesso di rette comprende 

 tutte le congruenze di rette singolari dei complessi quadratici della serie. In ogni 

 suo fascio ogni retta è singolare per uno di questi complessi e così le rette di tutti 

 i fasci vengono a corrispondere proiettivamente tra loro ed ai complessi quadratici 

 di cui sono rette singolari. I punti ed i piani di quei fasci sono plinti e piani 

 singolari per tutta la serie omofocale, sicché questa si compone di copiplessi aventi 

 comuni le superficie dei punti e dei piani singolari (*). 



Nella schiera delle quadriche, che colle intersezioni con It determinano un si- 

 stema di quartiche omofocali ve ne souo in generale, come vedemmo, di quelle specia- 

 lizzate (1, 2. ovvero 3 volte) come inviluppi ed i loro nuclei tagliano M in quar- 

 tiche (a 2, 1, ovvero dimensioni), che indistintamente chiamammo (n° 101) focali 

 per quel sistema di quartiche. Una quadrica semplicemente specializzata determina su 

 H una quartica, che si riduce ad un R^ doppio, contenente VM^'' focale; ma una 

 quadrica specializzata più d'una volta passa, come luogo, per ogni elemento dello spazio 

 S, e quindi la quartica corrispondente svanisce, e solo rimane a rappresentarla una 

 focale. Esprimendoci dunque colla geometria della retta abbiamo : 



d'ordine superiore e ne diede pure le equazioni, ma solo pel caso da lui considerato in quel 

 lavoro, in cui cioè il complesso quadratico ha 6 complessi fondamentali isolati, i quali si assumono 

 per riferimento; allora le equazioni prendono la forma semplicissima, che noi pure abbiamo dato da 

 un punto di vista più generale alla fine del u° 95. 



(*) Non viceversa tutti i complessi quadratici aventi comuni i punti ed i piani singolari formano 

 sempre una serie omofocale. Ciò è solo vero nel caso generale ed in molti casi particolari ; non però 

 in tutti, come si vedrà nel seguito. Soltanto quelle che io chiamo focali della serie definiscono questa 

 in modo completo , ma esse non sono sempre definite dalla superficie dei punti e piani singolari. 

 Questa osservazione importante, pare non fosse stata fatta finora. 



