116 SULLA GEOMETRIA DELLA RETTA ECC. 



Esiste sempre una ed una sola serie di complessi quadratici omofocali avente 

 una data congruenza quadratica focale, od una data rigata biquadratica focale od 

 ancora una data quaterna focale (di rette d'una rigata quadrica), qualunque sia 

 questa focale data. 



Questi risultati hanno un'importanza capitale pel problema, di cui ci occuperemo 

 poi della classificazione dei complessi quadratici. Aggiungiamo che da una proposi- 

 zione del n° 102 segue che: 



Per una retta qualunque dello spazio passano in generale 4 complessi qua- 

 dratici di una serie omofocale, ma quando tra essi ve ne siano di quelli specia- 

 lizzati più di una volta, ai quali perciò corrisiìonda un gruppo caratteristico con- 

 tenente più di un indice, cioè (e e e" . . .), allora un tale complesso fisso conta 

 e' 4- e ' + . . . volte tra i complessi quadratici passanti per la retta stessa , sicché 

 il numero dei complessi mobili passanti per tma retta quahmque dello spazio è 

 diminuito di altrettanto (*). 



140. Da un complesso quadratico qualunque si possono ottenere tutti i com- 

 plessi quadratici omofocali in un modo assai semplice. Ricordiamo iu fatti che nello 

 spazio lineare 5* a 5 dimensioni due quadriche polai'i reciproche rispetto ad R de- 

 terminano su i? due quartiche omofocaH, cosicché, se si tieu fissa l'una di queste 

 quartiche, variando però la quadrica passante per essa che la determina, la quadrica 

 polare di quella rispetto ad E descriverà una schiera di quadriche, che tagliano M 

 secondo la serie di quartiche omofocali a quella fissa. Notando inoltre che due qua- 

 driche polari rispetto ad i? hanno pure i due sistemi di iS*/ dell'una polari dei due 

 sistemi di S,'- dell'altra, abbiamo il seguente teorema (di cui un caso s'era già in- 

 contrato al n° 130) : 



Dato «Mi complesso quadratico qualunque, se si prendono dei due sistemi di- 

 stinti di oo^ rigate quadriche di ima sua generazione le rigate quadriche coniugate 

 (poste cioè sulle stesse supierficie ordinarie di 2° grado), queste formeranno i due 

 sistemi di oa' rigate quadriche di una stessa generazione di un altro complesso qua- 

 dratico omofocale a quello ; cosicché variando la generazione considerata di quello si ■ 

 ottiene tutta la serie dei suoi complessi quadratici omofocali. In particolare le gene- 

 razioni speciali del dato complesso danno luogo ai complessi fondamentali doppi (**). 



141. Si vede in questo modo come ad ogni generazione di un complesso qua- 

 dratico Q corrisponda in un certo senso un altro complesso quadratico della serie 

 omofocale in modo che anche questo ha una generazione (coniugata in un certo senso 



(*) Pei complessi quadratici omofocali vale una proprietà analoga a quella di un sistema di qua- 

 driche omofocali dello spazio ordinario di tagliarsi ortogonalmente. I complessi omofocali formano 

 cioè quello che il Klein chiama « Involulionssystem >. . Questo risulterebbe subito dal teorema generale 

 da noi dato al n° 83, ma non vi ci fermiamo, poiché quella proprietà fu già svolta completamente dal 

 Klein stesso {Liniengeomelrie und metrische Geometrie, Math. An., V, S. 260, 271). 



(**) V. ScHUR, loc. cit., pag. 48. 



