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a quella considerata di Q). a cui corrisponde il complesso quadratico Q. Così le varie 

 generazioni di Q coiTispondono proiettivamente ai complessi quadratici omofocali di Q; 

 in pai'ticolarc alla generazione di Q composta di coni e coniche corrisponde lo stesso 

 complesso Q (V. n" 09). Prendendo di una retta r il fascio di complessi polari ri- 

 spetto a Q, sappiamo che essi corrispondono proiettivamente alle varie generazioni di 

 Q: dunque corrisponderanno pure proiettivamente alla serie dei complessi omofocali 

 di Q ed in particolare il complesso polare speciale che ha r per asse corrisponderà 

 a Q. Quindi gli oo" fasci di complessi lineari polari delle i>i* rette dello spazio ri- 

 spetto agli c>o' complessi quadi-atici di una serie omofocale hanno i loro elementi che 

 si corrispondono proiettivamente tra loro ed a (juesti complessi quadratici. In parti- 

 colare quei complessi polari che corrispondono alle generazioni speciali di questi non 

 sono altro che i complessi di quei fasci involutori al complesso fondamentale od al 

 sistema lineare di complessi fondamentali, che corrisponde a quelle generazioni spe- 

 ciali : essi formano in quei fasci dei gruppi tutti proiettivi tra loro, e gì' invarianti 

 assoluti di uno qualunque di questi gi'uppi sono (V. n" 102 e 107) gl'invarianti as- 

 soluti della serie omofocale di complessi quadratici considerata complessivamente, mentre 

 grinvarianti assoluti di uno particolare di quei complessi quadratici sono gl'invarianti 

 assoluti del gruppo stesso a cui si aggiunga quel complesso lineare polare che corri- 

 sponde a quel complesso quadratico particolare. Tra i vari fasci di complessi polari 

 considerati vi sono gli co'' fasci polari di rette singolari dei dati conlplessi quadra- 

 tici. Come caso particolai-e noi possiamo dunque enunciare il seguente teorema, che 

 pure è generalissimo, e la cui importanza è evidente : 



G?/' invarianti assoluti di un complesso quadratico eh' data caratteristica si ot- 

 tengono come segue : Prendasi di una retta arbitraria r dello spazio il fascio dei 

 compiessi polari rispetto al complesso quadratico: questo fascio conterrà un com- 

 plesso involutorio a tutta la serie di complessi lineari fondamentali che corrisponde 

 ad un gruppo caratteristico qualunque contenuto nella caratteristica data . e si 

 lianno così nel fascio altrettanti complessi lineari e, , c^ , . . . c^ quanti sono i gruppi 

 caratteristici stessi. Oritene il gruppo di g-\-\ elementi composto del complesso li- 

 neare speciale di asse r e di e, , c^, ... c^ in quel fascio rimane proiettivo a se 

 stesso movendo r nello spazio, ed ha per invarianti assoluti, precisamente gl'in- 

 varianti assoluti del complesso quadratico, sicché questi sono espressi da g — 2 

 rapporti anarmonici indipendenti di quei g+1 elementi. Se poi si vogliono gì' in- 

 varianti assoluti della serie omofocale di complessi quadratici, basterà togliere l'ele- 

 mento r da quel gruppo, sicché si avranno solo più i g elementi e, , c^, . • • Cg, 

 i cui g — 3 invarianti assoluti saranno quelli cercati. Quindi se delle rette r dello 

 spazio si prendono i fasci di complessi polari rispetto a qualunque dei complessi 

 quadratici della, serie omofocale data, sempre i gruppi composti dei g complessi 

 lineari del fascio e,, c^, ... Cg ottenuti nel modo detto saranno tra loro proiettivi. 



In particolare i fasci di rette singolari dei complessi omofocali, i quali già 

 sapevamo corrispondere colle loro rette proiettivamente a questi, contengono g rette 

 appartenenti a congruenze quadratiche, o rigate biquadratiche, o quaterne di rette 

 focali per la serie omofocale: i gruppi di queste g rette corrispondono proiettiva- 



