118 SULLA GEOMETKIA DELLA RETTA ECC. 



mente ai gruppi di g elementi testé considerati, e possono servire come quelli a 

 dare gV invarianti assoluti della serie omofocale; se poi vi si aggiungono le rette 

 singolari di un determinato complesso di questa serie si avranno gruppi di g -^\ 

 rette, i cui invarianti assoluti saranno qìirlli di questo complesso. 



J7 numero degli invarianti assoluti della serie omofocale di complessi qua- 

 dratici avente tma data caratteristica è dunque uguale al numero dei gruppi ca- 

 ratteristici che compaiono in questa diminuito di 3, e quello degli invarianti as- 

 soluti di un complesso quadratico della serie è superiore a questo di un'unità. 

 Cos'i il coìnplesso quadratico più generale, cioè eli caratteristica [111111], ha 

 4 invarianti assoluti (e la sua serie omofocale ne ha 3); tutti quelli, che hanno 

 altra caratteristica , ne hanno un numero inferiore, che saliremo subito riconoscere 

 dalla caratteristica stessa (*). 



Occorre ancora che notiamo, a proposito degl' invarianti assoluti, che questi sono 

 qui usati appunto nel loro senso ordinaiio ; vale a dire se due enti geometrici della 

 stessa specie (nel nostro caso « stessa caratteristica ») hanno gli stessi invarianti as- 

 soluti, si possono trasformare l'uno nell'altro con una trasformazione proiettiva dello 

 spazio di punti (o piani). Che questo sia il senso che si deve attiibuire a quell'espres- 

 sione nei nostri teoremi risulta dalla proposizione dimostrata al w" 107, in virtù della 

 quale ogni trasformazione proiettiva dello spazio lineare a 5 dimensioni, che trasforma 

 la quadrica M delle rette in se stessa, equivale ad una trasformazione proiettiva (col- 

 lineare o reciproca) dello spazio lineare a 3 dimensioni di punti o di piani. 



142. Veniamo ora a considerare più minutamente la superficie dei punti e dei 

 piani singolari, sempre, ben inteso, dal punto di vista della pura geometria della retta. 

 Consideriamo una retta (Qualunque r dello spazio : per essa passerà almeno un com- 

 plesso quadratico di una data serie omofocale e sia Q. Noi vogliamo cercare quanti 

 punti e quanti piani singolari della serie omofocale, e quindi anche di Q, passano 

 per r e trovare anche una relazione importante che li lega. Nello spazio 5 a 5 di- 

 mensioni, sulla quadrica R, è dunque data una quartica Q , su cui un elemento r. 

 Il' S-^ tangente in r a Q taglia R e tutte le altre quadriche del fascio avente Q per 

 base in un fascio di S^ aventi in r un elemento doppio (coni quadrici in uno spazia 

 ordinario S'-^, aventi comune il vertice r e formanti fascio) : l' intersezione di questi 

 S^ si compone dunque in generale di 4 S^ passanti per r e costituenti l'interse- 

 zione di Q col S^ che la tocca in r. Dunque, nel linguaggio ordinario potremo dire : 



La congruenza lineare speciale tangente in una data retta r ad un complesso 

 quadratico ha conmni in generale con questo 4 fasci di rette, i quali appartengono 

 alla congruenza e quindi passano per r. 



{*) Jl Weiler, nella sua memoria già citata (pag. 203-204;, ha pure uà cenno degl' invarianti 

 assoluti di un complesso quadratico ; ma , senza darne il significato geometrico , parla della loro 

 enumerazione come di cosa, se non difiìcile, almeno penosa a farsi; ed assegna il numero di questi 

 invarianti assoluti soltanto per la sua )^ forma canonica (dando numeri che concordano coi nostri ). 

 Noi vediamo invece come la caratteristica del complesso permetta di dire immediatamente il numero 

 degl'invarianti assolati corrispondenti e di piìi ne conosciamo il significato geometrico. 



