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I 4 ])unti ed i 4 piani che contengono questi 4 fasci sono dunque 4 punti sin- 

 golaii e 4 piani singolari di Q (e quindi di tutta la serio omofocale) passanti per r, 

 ed è pur chiai-o dal ragionamento fatto che per r non può passare altro punto od 

 altro piano singolare. Quindi, ricordando anche la proprietà della congi-uenza lineare 

 speciale di direttrice r di far corrispondere proiettivamente tra loro i punti ed i piani 

 passanti per r (V. u" 111), avremo: 



Ogni retta detto spazio contiene in generale 4 punti e 4 piani singolari di 

 una serie omofocale di complessi quadratiei. Il gruppo di quei 4 punti è proiet- 

 tilo al gruppo di quei 4 piavi. 



Questo importante teorema è dovuto al Klein (*). 



Ricordando la definizione di retta singolare e supponendo che r sia tale pel com- 

 plesso Q, vediamo facilmente dal ragionamento fatto in quella dimostrazione che in 

 tal caso, senza che cessino di esservi 4 fasci di rette passanti per r e appartenenti 

 a Q. due di essi sono venuti a stare nello stesso piano (il piano singolare corrispon- 

 dente ad r) e gU altri due nello stesso punto (il punto singolare conispondente ad r) ; 

 perocché V S~ tangente in r a Q toccherà B lungo un S,' (quello degli elementi cor- 

 rispondenti ad r) e quindi la taglierà in due Sj^ di diverso sistema aventi comune 

 quel >?,'. e questi sono precisamente quel piano e quel punto aventi comune il fascio 

 delle rette comspondenti di r. Di qui segue che per una retta singolare due dei 4 

 punti singolari e due dei 4 piani singolari che passano per essa son venuti a coin- 

 cidere nel punto singolare e nel piano singolare corrispondenti alla retta singolare 

 stessa. Ciò vale per tutte le rette del complesso, di grado 12 in generale, che ve- 

 demmo esser costituito dalle ■:<>' congruenze di 4° grado delle rette singolari dei com- 

 plessi quadratici della serie omofocale. Tutte queste rette sono dunque tangenti alla 

 supei"ficie dei punti singolari ed a quella dei piani singolari, ed è anche ciliare che 

 esse comprendono tutte le tangenti dell'una o dell'altra di queste superficie. Dunque 

 queste, avendo comuni le tangenti, formano nella geometria ordinaria una stessa su- 

 perficie come luogo di punti e rispettivamente come inviluppo di piani. Esprimendoci 

 col linguaggio ordinario noi cosi troviamo che: 



I punti singolari ed i piam singolari di una serie omofocale di complessi 

 quadratici formano una stessa superficie di 4° ordine e 4* classe (e rango 12^, 

 le cui tangenti formano i fasci di rette singolari di quei complessi, e che gode 

 della proprietà che i suoi quattro punti ed i suoi quattro piani passanti per una 

 retta qualunque dello spazio hanno gli stessi rapporti anarmonici. Questa è nel 

 caso più generale la così detta superficie di Kummer. 



(') Lo enunciò nella memoria citata (n" 14; e ne diede piùi tardi una dimostrazione elegante, ma 

 notevolmente più complicata della nostra nella breve memoria « Ueber die Plucker'sche Complexfldche n 

 (Math. .\nn. Bd. VII, S. 208). — E qui voglio notare , senza entrare in particolari , che la dimostra- 

 zione, che sopra ne abbiamo dato, si applica, quasi senza mutamenti, al caso di un complesso di grado 

 qualunque, cioè serve a dimostrare il seguente teorema: ogni retta r di un complesso algebrico qua- 

 lunque è risp. retta d'inaesso e tangente cuspidale pei coni e curve del complesso che corrispondono 

 a 4 suoi punti e a 4 suoi piani ed il rapporto anarmonico di quei punti è uguale a quello di quei piani ; 

 teorema che è dovuto al Voss \_a Ueber Compìexe und Congruenzen » , Math. .\nn. Bd. IX, pag. 63). 



