120 SULLA GEOMETRIA DELLA RETTA ECC. 



143. Il teorema di Klein si può anche dimostrare in quest'altro modo, che ci 

 dà la intima ragione del teorema stesso. La retta r qualunque dello spazio contenga 

 il punto singolare A della serie omofocale di complessi, e a questo punto corrisponda 

 il piano singolare ex. Il fascio A</. si comporrà di rette, ciascuna delle quali è sin- 

 golare per uno di quei complessi quadratici, e vi è comspondenza proiettiva ti'a la 

 serie di questi e quel fascio di rette. Vi sono, in generale, come sappiamo, 4 com- 

 plessi della serie passanti per r, e questi hanno in quel fascio certe 4 rette come 

 rette singolari. I quattro fasci che congiungono queste rette ad r appartengono ri- 

 spettivamente a quei 4 complessi e quindi i 4 piani su cui stanno saranno 4 piani 

 singolari della serie omofocale passanti per r. Viceversa ogni piano singolare passante 

 per >• taglia il piano </. in una retta , che è singolare per un complesso della serie, 

 il quale dovrà quindi necessariamente contenere r. Dunque conchiudiamo anzitutto che 

 per ogni retta r passano 4 piani singolari della serie omofocale ; e poi che questi 

 4 piani tagliano a secondo 4 rette (aventi con quei 4 piani lo stesso rapporto anar- 

 mouico) singolari pei quattro complessi quadratici della serie, che passano per r, ed 

 hanno quindi, come queste, il loro rapporto anarmonico uguale a quello di questi 4 

 complessi della serie. Similmente su r vi sono quattro punti singolari ed il loro rap- 

 porto anarmonico è uguale a questo stesso. Dunque i quattro punti singolari ed i 4 

 piani singolari hanno lo stesso rapporto anarmonico : Ogni retta è contenuta in ge- 

 nerale in 4 punti e 4 piani singolari, sì die i rapporti anarmonici di quelli e 

 di questi sono uguali ni rapporto anarmonico dei quattro complessi della serie 

 oìHofocale passanti per la retta stessa (*). 



144. La superficie che vedemmo essere nello stesso tempo luogo dei punti sin- 

 golari ed inviluppo dei piani singolari della serie omofocale di complessi quadratici 

 dicesi superficie singolare di questi complessi. Essa in un certo senso individua la 

 serie omofocale ('"*) e ne è individuata, cosicché gl'invarianti assoluti della serie stessa 

 sono pure in generale i suoi e viceversa. Le rette singolari di ogni complesso della 

 serie le sono tangenti; in particolare le rette di ogni congruenza quadratica focale le 

 sono tangenti doppie, poiché appartengono a due fasci di rette singolari, cioè di tan- 

 genti della superficie. Nel caso più generale vi sono G taU congruenze quadratiche 



') Questo completameato del teorema di Klein si trova in sostanza enunciato a pag. 66 della 

 memoria del Voss « Ueber Complexe und Congruensen » già citata : soltanto l'enunciato del Voss è 

 più analitico. Noterò a questo proposito che , benché in quest' ultima parte del mio lavoro non sia 

 fatto alcun uso di equazioni , pure tutte quelle equazioni che importasse conoscere , intorno ai com- 

 plessi quadratici p. es., si ottengono immediatamente come casi particolari di quelle date nelle prime 

 parti. Così l'equazione più generale di una serie omofocale di complessi quadratici, che in tal modo 

 si ha sotto una forma, che vale qualunque siano il sistema di riferimento e la specie di quei com- 

 plessi quadratici. 



("J Questo non soffre eccezione alcuna se s'intende per superficie singolare il luogo dei centii (e 

 l'inviluppo dei piani) dei fasci di rette singolari della serie omofocale, ma ne soffi-e se s'intende, come 

 appunto si usa , il luogo di quei punti che sono singolari pel solo fatto dello scindersi il relativo 

 cono del complesso in una coppia di fasci (V. la nota al n" 139). Si vedrà infatti che in tutti i casi 

 in cui nella caratteristica dei complessi quadratici compare un gruppo caratteristico composto di 3 

 indici, allora la superfìcie singolare, intesa nel senso ordinario, si riduce ad una superficie ordinaria 

 di 2° grado, mentre nel primo senso si riduce alla corrispondente quaterna focale di rette, e solo in 

 questo senso essa individua la serie omofocale. 



