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mostrate in modo sintetico semplice nell'opera del Plucker (V. n' 312, 321), e perciò 

 ci limitiamo ad enunciarle. Osserviamo ancora che ognuna delle coniche di contatto 

 (16 in generale) della superficie singolare coi suoi piani doppi ed ognuno dei coni 

 osculatori nei punti doppi di quella superficie vengono così a corrispondere nel modo 

 detto , elemento per elemento , proiettivamente alla serie omofocale dei complessi 

 quadratici ; cosicché si potrà talora, per avere gì' invarianti assoluti di tutta la serie 

 o di un complesso determinato, considerare p. e. la punteggiata che corrisponde alla 

 serie dei complessi su una di quelle coniche di contatto. Cosi nel caso [111111] 

 ìd cui vi sono 6 complessi fondamentali isolati, e quindi 16 punti e 16 piani doppi 

 per la superficie singolare, allora gl'invarianti assoluti di questa saranno dati dal 

 gruppo dei 6 punti doppi che stanno sulla conica di contatto di un piano doppio. 



148. Dalle proposizioni del n" 9 7 risulta che nel caso generale: L'insieme di 

 tutte le rette che sono singoiavi di 1° ordine per complessi quadratici della serie omo- 

 focale sono quelle per cui coincidono due dei 4 complessi di questa che vi passano 

 e sono, come sappiamo, le tangenti della superficie singolare ; esse formano un (6^3'*, 

 cioè un) complesso di rette di grado 12. Le rette singolari di 2° ordine di complessi 

 della serie sono rette per cui coincidono 3 dei 4 complessi che vi passano e sono le 

 tangenti principali (tripunte) della superficie singolare, le quali formeranno perciò (un 

 S.J'^, cioè) una congruenza di grado 24 (Questo grado, come pure quello del complesso 

 delle tangenti sono confermati dalle formule relative alla teoria ordinaria delle superficie). 

 Finalmente le rette singolari di 3° ordine sono tutte le rette per cui coincidono tutti 

 4 i complessi della serie passanti per esse, e sono le tangenti alle coniche di contatto 

 dei piani doppi colla superficie, e le generatrici dei coni osculatori nei suoi punti doppi ; 

 tutte queste rette devono in generale formare per la formula del n' 97 un S,*"", cioè 

 una rigata di grado 64, il che appunto accade, poiché si hanno 16 coni quadrici e 

 16 inviluppi piani di 2" classe. 



§ 7. 



Congruenza quadratica : polarità, rette singolari e superficie focale. 

 Congruenze quadraticlte omofocali; loro curva singolare. 



147. Nel § 4 noi ci siamo già occupati della congruenza quadratica, special- 

 mente per quanto riguarda le 5 coppie di sistemi di 00' rigate quadi'iche contenute 

 in generale in una tal congruenza e la generazione di questa mediante fasci di con- 

 gruenze lineari. Ora ci rimane a fare per le congruenze quadratiche (e per le rigate 

 biquadratiche) le cose analoghe a quelle svolte negli ultimi due paragrafi sui complessi 

 quadi-atici. Per questo basterà nei risultati generali delle prime due parti del presente 

 lavoro considerare uno spazio lineare a 4 dimensioni (od a tre dimensioni) invece che 

 a 5, e supporvi che in una quadrica fissa iJj (od B^) l'elemento si chiami retta, 

 sicché tali quadriche rappresenteranno rispettivamente uu complesso lineare od una 

 congruenza lineare di rette. 



