PER COIiKADO SEGKE 123 



Eispetto ad una congruenza quadratica T contenuta in un complesso lineare e ogni 

 retta r di questo avrà un fascio di congruenze lineari polari contenute in questo : ogni 

 congi'uenza polare corrisponderà ad una generazione di T (*). La rigata quadrica di 

 e, nella quale si tagUeranno le congruenze lineari di quel fascio si dirà ridata iw- 

 lare di r rispetto a F. Tra quelle congruenze lineari due saranno speciali : l'una avente 

 per direttrice r, Taltra avente una certa direttrice r che si dirà retta ])olare di r 

 rispetto a T. Queste due rette r, r sono quelle due uniche rette di e che in gene- 

 rale stanno sulla rigata quadi-ica coniugata alla rigata polare di r. Prendendo in ciascuno 

 degU co' fasci di rette di e i quali passano per r la retta coniugata armonica di r 

 rispetto a quelle due rette del fascio che appartengono alla congruenza quadratica F 

 e oo rette, che così si ottengono , costituiscono appunto la rigata polare di r. 



Considerando la polarità rispetto ad una determinata delle generazioni di F si 

 hanno immediatamente dalla teoria generale della polarità rispetto ad una quadrica 

 dei teoremi analoghi ad altri noti sui complessi quadratici. Così, se due rette di e sono 

 tali che la congruenza lineai-e polare della prima rispetto a quella generazione di F 

 passi per la seconda retta, anche la congruenza lineare polare di questa passa per 

 la prima. Se poi consideriamo un piano od un punto qualunque dello spazio, o meglio 

 il fascio di rette del complesso lineare e che ogni tal punto o piano contiene, le con- 

 gruenze polari di quelle rette formeranno un fascio, tagliandosi in una rigata qua- 

 drica, che si dirà la rigata polare, rispetto a quella generazione di F, del fascio con- 

 siderato di e, oppure del punto o del piano, che contengono quel fascir Le due rette 

 della rigata quadrica coniugata a quella, le quali appartengono pure a e, saranno 

 rispettivamente le direttrici di due congruenze lineari speciali del fascio, e saranno le 

 rette polari di due certe rette di quel fascio di rette. 



Di qui segue che per ogni generazione di F si potranno considerare due altre 

 congruenze quadratiche K, L, che godi-anno di proprietà analoghe a quelle che nel 

 § 5 riconoscemmo avere i due complessi quadratici, che indicammo pure con K, L. La 

 congruenza quadratica K si comporrà delle rette di e, le cui congruenze lineari po- 

 lari rispetto a quella generazione di F sono speciali, e gli assi di queste, cioè le rette 

 polari di quelle rispetto a F formeranno l'altra congruenza quadratica L. Variando la 

 generazione considerata di F varieranno quelle due congruenze quadratiche (restando 

 sempre omofocali tra loro, in un senso che vedremo presto) e la ^ descriverà un 

 fascio che comprende F, cioè passerà costantemente per una rigata di grado 8 con- 

 tenuta in questa. Ogni retta r di questa rigata gode della proprietà che tutte le sue 

 congruenze polari sono speciali con assi che formano un fascio di rette di e, fascio 

 passante per r. Tale retta si dirà singolare per la congruenza quadratica. 



148. Vedemmo che una retta qualunque r di e ha rispetto a F una rigata 

 quadrica polare. Poniamo ora che r appartenga a F. Allora segue dalla costruzione 



{*] Lo ScHOB (memoria citata, pag. f9j nello studio delle proprietà polari di una congruenza 

 quadratica non considera che le 5 generazioni che corrispondono alle 5 coppie di sistemi di rigate 

 quadriche contenute nel caso più generale nella congruenza. Ma la teoria liesce più completa se si 

 considera la polarità rispetto a tutte le »' generazioni di questa. Così vi è anche il vantaggio che 

 vale, coniunque la congruenza si specislizzi. 



