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vista per la rigata polare, — od anche dal fatto clie quella rigata, essendo l'inter- 

 sezione S,^ di e, cioè -R/, col S^ polare di r, si scinde in due S', quando r venga 

 a star su f, e quindi quel S\ divenga tangente in r ad iJj", — che la rigata polare 

 di r si scinderà in due fasci di rette di e, ciascuno dei quali avrà la proprietà che 

 le due rette di F che esso deve contenere coincidono in r. I punti ed i piani dello 

 spazio che contengono tali fasci di e sogliono chiamarsi, segaendo Kumnier, fuochi 

 e piani focali di F. Dunque ogni retta di una congruenza quadratica appartiene a 

 due fuochi ed a due piani focali di questa (*). 



Consideriamo ancor più in particolare una retta singolare della congruenza qua- 

 dratica. La definizione datane or ora, o quella equivalente data in generale per gli 

 elementi singolari di una quartica a quante si vogliano dimensioni mostrano che per 

 una tal retta r la rigata quadrica polare si specializza doppiamente, cioè i due fasci 

 in cui essa si scindeva nel caso precedente vengono a coincidere in un fascio solo, che 

 diremo di rette corrispondenti alla retta singolare r, per cui pure passa quel fascio. 

 Dunque ogni retta singolare di una congruenza quadratica è caratterizzata dal fatto 

 che per essa i due fnochi ed i due piani focali vengono a coincidere. Queste rette 

 singolari formano in generale, come vedemmo, una rigata di grado 8. 



Finalmente potremo chiamare rette singolari di 2° ordine (V. n° 95) della con- 

 gruenza quadratica V quelle rette singolari, ciascuna delle quali ha per fascio di rette 

 corrispondenti un fascio di rette della congruenza. Le equazioni generali del n" 95 

 possono servire a determinare la rigata delle rette singolari (di 1° ordine) e le rette 

 singolari di 2" ordine di ogni congruenza quadratica di cui sia data l'equazione in- 

 sieme con quella che caratterizza le rette, mediante 5 sole coordinate omogenee qua- 

 lunque, capaci però, se soddisfano a quest'ultima equazione, di rappresentare ogni 

 retta del complesso lineare contenente la congruenza che si considera. Esse mostrano 

 Ciie le rette singolari formano in generale, come già notammo, una rigata di grado 8 ; 

 ma anche che le rette singolari di 2" ordine sono in generale 16 e quindi che altret- 

 tanti sono i fasci di rette contenuti nella congruenza quadratica. 



149. Nel § precedente (V. n" 139) noi vedemmo come una serie omofocale 

 di complessi quadratici ahbia nel caso più generale ed in moltissimi dei casi parti- 

 colari delle congruenze quadratiche focali (nel caso più generale in numero di 6), e 

 vedemmo anche come viceversa ogni congruenza quadratica, senza alcuna eccezione, 

 è focale per 'una serie omofocale di complessi quadratici. Questo teorema ha molta 

 importanza, poiché mostra come lo studio e la classificazione delle superficie focali 



(■) Questa proprietà, come dimosfi'ò il Kummer I« Allcjameinp. Theorie der Slrahlensijsteme • ^ t\, Orelle's 

 -Journal, Bii. 57, !8ó9), è generale e vale per sistemi di retie qualunque, anche trascendenti. Ora la 

 nostra dimostrazione si estende senza difficoltà al caso più generale. In fatti, un sistema di rette non 

 !' altro che uno spazio a 2 dimensioni ijualunque 5„ giacente sulla quadrici a h dimensioni delle rette 

 Rf. Ora in ogni elemento r dello spazio a 2 dimensioni S, , nelle cui vicinanze questo sia continuo, 

 esiste un .S', lineare tangente, cioè che ne contiene gli elementi infinitamente vicini, e questo iS', es- 

 sendo pure tangente per consegusnza ad R^ la taglierà in due S\ che pure saranno tangenti a quel 

 5, e passeranno per r. Ciò significa che ogni r^tta di un sistema di rette sta in due fasci , ciascuno 

 dei quali contiene oltre a quella un'altra retta del sistema infinitamente vicina (e che la taglia). 



