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delle congruenze quadraticlie son compresi in quelli delle superfiòie singolari dei com- 

 plessi quadratici (né, ch'io sappia, era ancor stato dimostrato da alcuno). Kicordando 

 inoltre quanto abbiamo visto, cioè che una congruenza focale di una serie omofocale 

 di complessi quadratici si compone di tangenti doppie della superficie singolare co- 

 mune a questi, risulta che : 



Ogni congruenza quadratica determina come luogo dei suoi fuochi ed invi- 

 luppo dei suoi piani focali una stessa superficie, la quale è superfìcie singolare 

 per una serie di complessi quadratici omofocali (aventi quella congruenza per una 

 focale) ed è quindi in generale una superficie di 4° ordine e 4" classe. Il com- 

 plesso lineare cui appartiene quella congruenza è uno dei complessi fondamentali 

 isolati di quella serie omofocale. 



Per le rette singolari della congruenza quadratica coincidono i due punti e 

 i due j)(V(h/ di contatto colla superficie, sicché tali rette sono tangenti quadripunte 

 della superfìcie ed il punto ed il piano di contatto di ogni tal retta si corrispon- 

 dono rispetto al complesso lineare considerato. Questa Serie di tangenti quadripunte 

 costituenti le rette singolari della congruenza quadratica forma in generale una 

 rigata di grado 8. 



Finalmente le rette singolari di 2" ordine della cotìgruenza quadratica sono 

 tangenti quadhpunte della superficie, le quali stanno in un piano doppio di questa 

 e la toccano in, un punto doppio: questo punto e quel piano sono quelli òhe con- 

 tengono il fascio di rette della congruenza corrispondenti a quella retta singolare, 

 •cioè un fascio di tangenti doppie della superficie, dal che ristolta appunto che essi 

 sono un punto ed un piano doppio di questa. Poiché quelle rette singolari di 2° or- 

 dine sono in generale 16 si vede così di nuovo che la superficie considerata ha in 

 generale 16 punti e 16 piani doppi. Il complesso lineare fondamentale che contiene 

 la congruenza quadratica serve a far corrispondere tra loro questi punti e questi piani 

 in modo da dare i 16 fasci di rette della congruenza. 



Le tangenti quadripunte della superficie che sono rette singolari per la congruenza 

 quadratica hanno per punti e per piani di contatto colla superficie stessa i punti ed 

 i piani osculatori di una curva che diremo curva singolare della congruenza quadra- 

 tica, e che gode della proprietà di avere per tangenti delle tangenti principali (non 

 quadripunte) della superficie focale, ed inoltre di appartenere al complesso lineare e, 

 cioè che ogni retta passante per un punto della curva stessa e giacente nel piano 

 osculatore in quel punto appartiene a e. La congruenza, contenuta in e, composta di 

 tutte queste rette è costituita dai fasci delle rette corrispondenti alle rette singolari di V. 



La curva singolare relativa alla congruenza quadratica contiene i 16 punti doppi 

 della superficie focale ed ha per piani osculatori in essi i 16 piani doppi, perocché 

 vedemmo che tra i fasci di rette corrispondenti a rette singolari della congruenza vi 

 sono appunto i 16 fasci di rette che questa contiene. 



i50. Dalle cose dette in generale nel § 6 della 2'' Parte intorno alle quar- 

 tiche omofocali su una quadrica a più dimensioni ricaviamo come proprietà analoghe 

 a quelle viste nel § precedente intorno alla serie di complessi quadratici omofocali: 



