126 SULLA GEOMETELA. DELLA RETTA ECC. 



Una serie omofocale di congruenze quadratiche di uno stesso complesso lineare 

 comprende co' congruenze quadratiche aventi comune la curva singolare, sicché ogni 

 fascio di rette che in un piano osculatore di questa vanno pel punto di contatto 

 ha ogni sua retta per retta singolare di una determinata di qìieìle congruenze qua- 

 dratiche e le altre per rette corrispondenti, di modo che ciascuno di quegli oo fasci 

 corrisponde proiettivamente alla serie omofocale di congruenze quadratiche. Se in 

 ciascun fascio si prende la retta singolare di una determinata congruenza della 

 serie si ottengono così oo' rette, tangenti quadripunte della superficie focale di quella 

 congruenza, e formanti una rigata di grado 8. Variando la congruenza quadra- 

 tica nella serie varierà pure questa rigata di grado 8, sempre però passando per 

 la curva singolare. Quanto poi alle superficie focali delle congruenze quadratiche 

 della serie, è chiaro che esse si toccheranno lungo questa curva, avendovi per piani 

 tangenti i piani osculatori di questa. I punti doppi di tutte queste superficie focali 

 stanno sulla curva singolare e vi formano nel caso piti generale una involuzione 

 di grado 16, sì che fissando un punto della curva stessa è determinata una su- 

 perficie focale die lo ha per punto doppio, e quindi sono determinati gli altri punti 

 doppi di questa ; e analogamente pei piani doppi. 



Fer ogni retta del complesso lineare passano in generale 3 congruenze qua- 

 dratiche di una serie omofocale. Ma se la retta è singolare per una di esse, cioè 

 se taglia la curva singolare (e per conseguenza sta in tm piano osculatore), al- 

 lora due delle congruenze quadratiche che vi passano coincidono in quella che ha 

 la retta per singolare, e l'altra congruenza quadratica passante per la retta data 

 è quella che ha il punto d'intersezione di questa colla curva per punto doppio della 

 superficie focale. — Le rette singolari di 2° ordine delle congruenze della serie 

 omofocale sono le tangenti della curva singolare; per ognuna di queste tangenti 

 coincidono le 3 congruenze della serie passanti per essa, e precisamente coincidono 

 colla congruenza avente quella retta per retta singolare di 2" ordine (V. n" 97). 



151. Dai risultati generali del n° 93 segue poi, insieme con altre proposizioni 

 che per brevità omettiamo : La congruenza speciale composta degli oo' fasci di rette 

 singolari della serie omofocale di congruenze quadratiche, Tale a dire la congruenza 

 formata dalle oo' rigate di grado 8 di tangenti quadripunte delle superficie focali di 

 quelle, è un S^ ' *, cioè una congruenza di grado 8 contenuta nel complesso lineare 

 considerato. E la rigata delle rette singolari di 2° ordine, cioè la rigata sviluppabile 

 della curva singolare è un S^""', cioè una rigata di grado 24. No segue immediata- 

 mente che : 



La curva singolare di una serie omofocale di congruenze quadratiche è in 

 generale d'ordine e classe 8 e di rango 24 (grado della sua sviluppabile). 



La prima parte di questa proposizione si poteva anche avere, benché non col- 

 l'uso della pura geometria della retta , notando che in generale la superficie focale 

 di una qualunque delle congruenze quadratiche è d'ordine 4 ed è toccata secondo 

 la curva singolare, che conterà 4 volte (;ome intersezione , dalla rigata di grado 8 

 delle rette singolari di quella congruenza (tangenti qualripunte di quella superficie), 

 sicché quella curva dovrà essere di ordine 8 ; e similmente per la classe. 



