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Tutte le superficie focali delle congrueuze quadratiche della serie formano così 

 nello stesso tempo un fascio od una schiera, avendo per intersezione comune quella 

 curva singolare d'ordine 8 (clie, essendo curva di contatto semplice, va contata due 

 volte) e per sviluppabile circoscritta comune quella osculatrice a questa curva. 



152. Le congruenze quadratiche di una serie omofocale hanno la stessa carat- 

 teristica, e ìe stesse congruenze linenri fondamentali (V. n' 124). Ogni congruenza 

 fondamentale isolata contata due volte va considerata come una delle congruenze qua- 

 dratiche della serie e sue rette singolari vanno considerate le rette di una rigata 

 biquadratica contenuta nella congruenza lineare fondamentale e la quale si ìniò 

 chiamare rigata focale delle congruenze quadratiche della serie. Ogni generatrice 

 di una tale rigata biquadratica appartiene non ad un solo , ma a due fasci di 

 rette singolari della serie, vale a dire è una corda della curva singolare e sta 

 nello stesso tempo nei due piani oscillatori dei punti in cui la taglia. Nel caso più 

 generale queste rigate biquadratiche focali delle congruenze quadratiche sono 5 , 

 corrispondentemente alle 5 congruenze fondamentali. Quindi se nel caso generale 

 si conduce il piano osculatore in un punto arbitrario alla curva singolare delle 

 congruenze, esso taglierà ancora questa curva in 5 punti posti col primo su una 

 conica e costituenti con esso 6 punti doppi di una superficie focale della serie, 

 e le congiungenti di quelli al primo punto saranno le 5 generatrici passanti per 

 questo punto delle 5 rigate focali. Queste 5 rigate sono costituite da tangenti 

 doppie comuni a tutte le sujjerficie di Kummer della serie: punti e piani di con- 

 tatto di quelle tangenti doppie appartengono alla curva singolare, cioè alla curva 

 di contatto comune a quelle superficie. 



153. 'S'è la caratteristica comune delle congruenze quadratiche di una serie 

 omofocale contiene un gruppo composto di due indici, vale a dire se esiste nel 

 complesso lineare '«• cui appartengono quelle congruenze tutto un fascio di congruenze 

 lineari fondamentali per queste, le quali si toglieranno in una rigata quadrica , 

 allora vi è in generale su questa una quaterna di rette focale per tutte quelle 

 congruenze; vale a dire ogni fascio di rette singolari di quella serie omofocale 

 di congruenze quadratiche contiene una di quelle quattro rette, cosicché la con- 

 gruenza di grado 8 formata nel caso generale da quei fasci si scinde in questo 

 caso in 4 congruenze lineari speciali, contate due volte, aventi quelle 4 rette per 

 assi. Inoltre (V. n' 85, 101) per ciascuna congruenza quadratica della serie 

 quelle sue rette singolari che s'appoggiano su una qualunque di quelle 4 rette 

 formano una rigata quadrica. Ora in questo caso , come vedremo più tardi , la 

 superficie focale di ciascuna delle congruenze quadratiche è una rigata biquadra- 

 tica, le cui due rette doppie (che sono pure rette doppie di quelle congruenze) non 

 variano cambiando la congruenza nella serie omofocale. Varia però con ciò la 

 rigata biquadratica stessa, ma rimangono fisse quelle 4 sue generatrici (distinte 

 coincidenti) che costituiscono appunto la quaterna focale comune alle congruenze 

 della serie e godono della proprietà di essere curve delle tangenti quadripunte per 

 tutte quelle superficie biquadratiche, cioè sono, per ciascuna di queste, generatrici 



