128 SULLA GEOMETRIA DELLA KETTA ECC. 



« iperboliche » (V. n° 117), sicché per ciascun xnmto di ognuna di esse passa 

 una tangente quadripunta della superficie, in modo che tutte queste tangenti qua- 

 dripunte formano una rigata quadrica (di rette singolari della corrispondente con- 

 gruenza quadratica). 



Tutte le oo' rigate biquadratiche che sono superficie focali per la serie di con- 

 gruenze quadratiche omofocali si tagliano adunque nelle 2 rette doppie , le quali 

 quindi contano nell'intersezione come iasieme di grado 8 , e si toccano lungo 4 loro 

 generatrici iperboliche giacenti in una stessa rigata quadrica. In ciascuna di queste 

 generatrici iperboliche le rigate quadriche delle tangenti quadripunte delle co' super- 

 ficie biquadratiche formano una congruenza lineare speciale avente quella generatrice 

 iperbolica per asse. 



Dalla proposizione generale del n" 79 segue poi: 



Se la caratteristica di una congruenza quadratica contiene un gruppo di 3 

 indici caratteristici , essa si scinde in due congruenze lineari e se contiene tm 

 gruppo di 4 indici essa si riduce ad una congruenza lineare doppia. 



Abbiamo così visto come una congruenza quadratica e quindi tutta la sua serie 

 omofocale possano avere delle rigate biquadratiche od anche delle quaterne di rette 

 come focali. Viceversa, se nel complesso lineare e si danno ad arbitrio una rigata 

 biquadratica ovvero una quaterna di rette (di una rigata quadrica) e le si assumono 

 come focali, sarà determinata nel complesso lineare una serie di congruenze quadra- 

 tiche omofocali corrispondenti. Da ciò si deduce facilmente che una rigata biqua- 

 dratica generale ha 16 generatrici iperboliche, formanti 4 quaterne, sì che ogni quaterna 

 sta su una quadrica ; risultati che ritroveremo più tardi. 



Si dimostra facilmente col nostro solito metodo dal teorema generale del n" 83 la 

 seguente proposizione importante sulle congruenze quadratiche omofocali: Le 3 con- 

 gruenze della serie passanti in generale per una retta qualunque del complesso lineare 

 hanno in questa retta per fuochi (o piani focali) 3 coppie di punti, delle quali due 

 qualunque formano un gruppo armonico , sicché il fascio (o schiera) delle superficie 

 di Kummer focali per quelle congruenze quadratiche ha così una proprietà assai ele- 

 gante. Questo teorema, considerato come appartenente alla geometria a 4 dimensioni, 

 dà luogo nella geometria delle sfere al teorema sull'ortogonalità delle ciclidi di un 

 sistema omofocale. 



154. Finalmente da una proposizione generale del n" 89 segue: 



Una serie di complessi quadratici omofocali è tagliata da uno qualunque dei 

 suoi complessi fondamentali isolati secondo una serie di congruenze quadratiche 

 omofocali, della quale fa parte quella congruenza focale della serie di complessi 

 quadratici che corrisponde a quel complesso fondamentale. Ne segue che tutte le 

 superficie di Kummer che sono superficie focali delle dette congruenze quadratiche 

 toccano la superficie di Kummer singolare per la serie omofocale di complessi 

 quadratici secondo una curva di grado 8 delle loro tangenti quadripunte [*). 



l') Il LiE aveva già enunciato questo teoreiiKi nolla memoria « Uuber Comjjtexe unii partiette 



