PEK CORKADO SEGRE 129 



155. Abbiamo già considerato (V. n° 127) alcune proprietà delle 5 coppie di 

 sistemi di rigate quadriche che ha una congruenza quadi'atica generale ; vogliamo ora 

 ritornarvi su. In uno spazio lineare a 4 dimensioni S',^ sia la quadrica iJj , su cui 

 la quartica V. Ogni S\ di quello spazio taglierà questa in una quartica ad 1 di- 

 mensione posta sulla quadrica a 2 dimensioni d'intersezione con B^ . Quattro elementi 

 di r determinano in generale quel S'j e quindi quella quartica; ma due ^'3 si ta- 

 gliano in un S\ che taglia F in quattro elementi , i quali saranno dunque comuni 

 alle quai'tiche d'intersezione di F con quei due S\ e quindi col loro fascio. Se poi 

 si considera un S\ tangente ad uno degli S^^ specializzati che passano per F, la 

 sua intersezione 5% con quel 5^3 si scinde in due S\ aventi comune VS\ di con- 

 tatto (ovvero quando quel S'^ fosse doppiamente specializzato , quell'intersezione si 

 compone di un S\ doppio), i quali tagliano R^ in due diversi S'', nei quali viene 

 a scindersi in questo caso la suddetta quartica ad una dimensione. Dunque: 



Ogni congruenza quadratica F contenuta in un com])lesso lineare e contiene 

 oo* rigate biquadratiche, intersezioni di F stessa colle congruenze lineari contenute 

 in e, sì die 4 rette ad arbitrio di F individuano in generale una tal rigata, a 

 meno die stiano in una rigata quadrica di e, che in tal caso per quelle 4 rette 

 passeranno infinite rigate biquadratiche di F. Viceversa, due rigate biquadratiche 

 qualunque di F si tagliano appunto secondo 4 rette che godono di questa pro- 

 prietà {*). 



La congruenza lineare che determina una rigata biquadratica di F può esser 

 tale che questa si scinda in due rigate quadriche aventi comuni due rette. Di tali 

 congruenze lineari ve ne sono 00^ per ciascuna congruenza fondamentale isolata, ma è chiaro 

 che per una qualunque delle rigate quadriche di F a cui esse danno luogo ne passano 

 00', sicché il numero di queste rigate quadriche contenute in F si riduce ad 00'. 

 Ed esse corrispondono a quelle congruenze fondamentali isolate e sono legate tra loro 

 nel modo detto. 



Se consideriamo un S"^^ semplicemente specializzato del fascio passante per F, 

 ogni S\ in esso contenuto, di ciascuno dei due sistemi taglia It^ secondo un S ,'che 

 è appunto una rigata quadrica della congruenza F. Ora può accadere ancora che quel 

 (S^, si scinda: ciò accadrà quando quel S\ sia tangente ad R^. Se consideriamo 

 \'S\ polare dell'elemento doppio di quel 5'^3 specializzato rispetto ad -R3 , è chiaro che 

 esso sarà tagliato da un tale S\ secondo un ;S", giacente nella intersezione col /S'^j spe- 

 cializzato e tangente alla intersezione col i? 3 . Ora in uno spazio lineare a 3 dimen- 

 sioni ;S''3 noi vedemmo che in ciascuno dei 2 sistemi di ^', contenuti in un S"^^ ve 



DifferentialgUichungen » (Math. Ann. Bd. V, pag. 255 nella 1^ nota) deducendolo con una rappre- 

 sentazione di cui abbiamo già parlato , dalle proprietà del sistema ortogonali di ciclidi di Darboux- 

 MoDTARD. Del resto una trattazione delle congruenze quadratiche omofocali e delle rigate biquadratiche 

 omofocali non era ancora stata fatta finora, ch'io sappia. 11 Klein aveva già trovato, insieme col Lie, 

 la curva di grado 8, che noi abbiamo chiamato a curva singolare » di una congruenza quadratica 

 (V. Kleix n Differentialgleichungen in der Liniengeomeirie », Math. Ann. V, pag. 296) , ma non la 

 considerò rispetto a quella che io chiamo serie omofocale di congruenze quadratiche. 

 (*) V. Caporali. Sui complessi e sulle congruenze di 2° grado, pag. 4. 



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