130 SULLA GEOMETRIA DELLA RETTA ECC. 



ne sono in generale 4 tangenti ad iin'altra quadrica i?, , potendo il loro numero 

 diminuire collo specializzarsi della quartica d'intersezione del /iS\ col B^. Dunque 

 concbiudiamo : 



In ciascuno dei due sistemi di rigate quadriche di una stessa generazione di 

 r l'i sono 4 rigate quadriche specializzate, cioè scisse in due fasci, sicché T ha 

 nel caso imi generale 1 6 fasci di rette raggruppati in modo che ad ognuna delle 

 5 congruenze fondamentali corrispondono due ottuple di tali fasci, sì che una 

 ottupla si compone di 4 coppie di fasci formanti rigate quadriche degeneri di V 

 dell'uno dei 2 sistemi che corrispondono a quella congruenza fondamentale (*). 



Tutte le rigate biquadratiche di V contengono una retta di ciascuno dei 16 

 fasci di r. Le rigate quadriche di uno dei due sistemi corrispondenti ad una stessa 

 generazione di F contengono una retta di ciascuno degli 8 fasci costituenti Vot- 

 tupla corrispondente all'altro sistema. Dunque un sistema di rigate quadriche di 

 r si compone di quadriche che passano per 8 punti fissi e toccano 8 piani fissi 

 (passanti a coppie per questi). Questo sistema di quadriche è d'ordine e classe 2 

 poiché per ogni retta della congruenza passa solo una determinata di queste qua- 

 driche e per ogni punto o piano dello spazio passano in generale due sole rette 

 -della congruenza. Considerando il caso in cui queste divengano infinitamente vicine 

 ahiiamo: L'inviluppo di ogni sistema di quadriche di T é appunto la superficie 

 focale di T. 



§ 8. 



Higata biquadratica e sua serie omofocale ; 

 generatrici singolari e generatrici iperboliche. 



156. Già notammo che una rigata biquadratica rispetto alla congruenza lineare 

 (generale o speciale) che la contiene equivale ad una quartica di 1' specie nello spazio 

 lineare a 3 dimensioni ordinario rispetto ad una quadrica (generale o conica) che la 

 contenga. Ai due sistemi di fasci di quella congruenza (sistemi che coincidono quando 

 la congruenza diventa speciale) corrispondono i due sistemi di generatrici di quella 

 quadrica (i quali coincidono pel cono). Quindi le proprietà note di quelle quartiche 

 nello spazio ordinario e quelle che noi abbiamo trovato nel § 4 della 2" Parte, e poi 

 al n" 103 si trasportano immediatamente alle rigate biquadratiche, dandoci per queste 

 delle proprietà analoghe a quelle viste pei complessi e le congruenze quadratici. 



Abbiasi ima rigata biquadratica in una congruenza lineare (generale o spe- 

 ciale). In ogni fascio di rette di questa vi saranno due generatrici della rigata, 

 le quali verranno a coincidere in generale per 4 fasci di ciascun sistema. Vi sono 

 dunque in generale su ognuna delle due direttrici (distinte o coincidenti) della con- 

 gruenza 4 punti cuspidali congiunti all' altra direttrice con 4 piani cuspidali, tali 

 che le due generatrici che in U7i piano cuspidale passano pel punto cuspidale cor- 



(*) V. Caporali, loc. cit., pag. 5. 



