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risponclente coincìdono in una generatrice singolare clcìJa rigata ; il fascio delie 

 rette che in quel piano passano jjcr quel punto si dirà fascio singolare per la ri- 

 gata biquadratica. 



Un sistema di rigate biquadratiche omofocali (V. n" 103) è un sistema sem- 

 plicemente infinito di rigate biquadratiche poste nella stessa congruenza lineare ed 

 aventi comune {oltre alle direttrici) i fasci singolari, cioè le 2 quaterne di punti 

 e di piani cuspidali. In ognuno dei fasci singolari (8 in geìierale) ogni retta è 

 generatrice singolare per una determinata rigata della serie omofocale, e viceversa 

 ogni rigata di questa ha una generatrice singolare in quel fascio ; vi è corri- 

 spondenza proiettiva tra quei fasci di generatrici singolari e la serie delle rigate. 

 In particolare vi sono in generale 4 rigate nella serie , le quali si riducono a 

 rigate quadriche contate doppiamente e non sono altro che le 4 rigate quadriche 

 fondamentali (V. n° 125) comuni a tutte le rigate biquadratiche della serie. Ciascuna 

 di queste rigate quadriche ha una quaterna di rette in cui sono venute a coincidere 

 le 2 quaterne di generatrici singolari di una rigata biquadratica qualunque della 

 serie e che si potrebbe dire' per analogia quaterna focale della serie di rigate bi- 

 quadratiche. Ogni retta di una tal quaterna sta nello stesso tempo in 2 fasci 

 singolari della serie e quindi nel caso più generale congiunge due punti cuspidali 

 (e sta nei due piani cuspidali corrispondenti) delle due direttrici, sicché la quaterna 

 di rette corrispondente a ciascuna rigata quadrica fondamentale eongiunge i 4 

 punti cuspìidali delVuna direttrice ai 4 dell'altra presi in un certo ordine. Questo 

 ordine muta cambiando la rigata quadrica fondamentale, sicché vi sono 4 quaterne 

 distinte di rette giacenti su rigate quadriche e congiungenti i punti cuspidali delle 

 due direttrici. 



Ke segue immediatamente che il rapporto anarmonico dei 4 punti cuspidali 

 di ciascuna direttrice e quello dei 4 piani cuspidali di ciascuna direttrice hanno 

 tutti lo stesso valore, il clic del resto risulta pure dal fatto che una serie omofocale 

 di rigate biquadratiche è polare reciproca di se, stessa rispetto alle 4 quadriche 

 fondamentali (V. n° 125). Questo rapxìorto anarmonico è l'unico invariante assoluto 

 (Y. alla fine del n° 103) della serie stessa. Ogni rigata particolare della serie ha 

 poi ancora un altro invariante assoluto, che è il rapporto anarmonico determinato 

 dalla sua generatrice singolare in uno qualunque dei fasci singolari con 3 delle 

 quattro rette di questo fascio, le quali stanno in fasci singolari dell'altra quaterna. 



Per una retta qualunque appoggiata alle due direttrici (o , più in generale, 

 appartenente alla congruenza lineare) passano in generale due rigate biquadratiche 

 della serie omofocale. Esse coincidono quando quella retta si prende in un fascio 

 singolare, e coincidono in una rigata avente questa retta per generatrice singolare. 



157. Non insistiamo a far notare l'importanza di queste proposizioni per la 

 teoria delle rigate biquadratiche e come esse si modifichino facilmente quando le rigate 

 direntino speciali o pel coincidere le 2 direttrici , o pel comparire di generatrici 

 doppie, ecc., modificazioni che risultano dalle stesse dimostrazioni che abbiamo date. Solo 

 più una ricerca Togliamo fare: quella delle generatrici iperboliche. Noi vedemmo al 

 n" 117 che cosa esse siano in generale, e più tardi (n" 153) trovammo che ve ne 



