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graenze quadratiche e le rigate biquadratiche colla pura geometria della retta ed as- 

 segnando nello stesso tempo parecchie proprietà che servano a distinguere le varie 

 specie di quegli enti. Faremo astrazione dai complessi quadratici, che si scindono in 

 complessi lineari ; essi sono per la teoria ganerale , come già notammo , tutti quelli 

 nella cui caratteristica entra un gruppo contenente più di 3 indici. Inoltre, invece di 

 stai'e ad applicare successivamente per ciascuno dei 3 diversi enti geometrici (quar- 

 tiche a 3, 2, 1 dimensioni aventi la retta per elemento) il metodo generale svolto 

 nel § citato, preferiamo per brevità collegare tra loro le classificazioni di questi enti 

 in modo che quella di uno di essi serva a quella degli altri. 



Per capire come ciò sia possibile ricordiamo che noi abbiamo visto come una 

 serie omofocale di complessi quadratici abbia una stessa caratteristica, e come quando 

 è data una congruenza quadi'atica, od una rigata biquadratica od una quaterna di 

 rette di una rigata quadrica, come costituenti una focale di quella serie di comi^lessi 

 quadratici, questa è sempre perfettamente determinata. D'altra parte ogni complesso 

 quadratico (o la sua serie omofocale), per quanto possa essere speciale, possiede sempre 

 una congruenza quadratica focale od una rigata biquadratica focale, od almeno una 

 quaterna di rette focale. Ne segue adunque che si avranno tutte le specie possibili di 

 complessi quadi'atici prendendo per focaK tutte le specie possibili di congruenze qua- 

 di'atiche, di rigate biquadratiche e di quaterne di rette. Viceversa se si considerano 

 tutte le specie possibili di complessi quadratici, è chiaro che queste dovranno dare 

 come focali tutte le specie possibili di congruenze quadratiche, di rigate biquadratiche 

 e di quaterne di rette. Per conseguenza la classificazione dei complessi quadratici 

 comprende quella delle congi'uenze quadi'atiche , rigate biquadratiche e quaterne di 

 rette di rigata quadrica, e viceversa la classificazione di queste ci dà quella (*). 



Similmente la classificazione delle congi'uenze quadratiche, essendo sempre la serie 

 omofocale di una di queste, e quindi anche la sua caratteristica, determinata da una- 

 sua rigata o quaterna focale, si riduce alla classificazione delle rigate biquadratiche e 

 delle quaterne di rette su una quadrica. — In definitiva la classificazione di tutti tre gli 

 enti geometrici, che consideriamo potrebbe ridursi a quella di queste quaterne di rette. 



160. Questo concetto assume maggior precisione nel seguente importante teorema, 

 al quale veramente non avremmo bisogno di ricorrere, dopo quanto abbiamo detto, ma 

 di cui tuttavia ci serviremo nel seguito a dedurre la caratteristica di ogni complesso 

 quadratico da quella di una sua focale o viceversa dalla caratteristica di esso quella 

 delle sue focali. Il teorema nella sua maggior generalità per quadriche e quartiche 

 qualunque in uno spazio lineare ad n — 1 dimensioni si può enunciare cosi : 



Abbiasi in uno spazio lineare ad n — 1 dimensioni su una quadrica fìssa f 

 una quartica, od una serie omofocale di quartiche, la cui caratteristica sia : 



[e 



,;..... .,".-: ) , (.,,..',..., ..".-' )...(«,«;,..., ./*'-)) . 



(*) Qui per classificazione intendiamo solo la distinzione in specie, che è data dalle diverse carat- 

 teristiche. Quanto alla ulteriore divisione, che si paò fare entro queste specie, essa è data dagl'inva- 

 rianti assoluti. Ma su questo ritorneremo tra poco. 



