134 SrLLA GEOMETRIA DELLA KETTA ECC. 



La focale di quelle quartiche che corrisponde al primo gruppo di quella caratte- 

 ristica è una quartica ad ìi — 3 — h, dimensioni posta su (p, anzi sull'intersezione 

 di <p col S'„_,_,, fondamentale che corrisponde a quello, ed avente per carat- 

 teristica 



I (<',-!, e,'- !,...,? 'A- )_]) , (p^ , ,;, . . . , pJ/..-0) . . . (,^ , ej, . . . ,e}'-'-'^)] , 



dove il segno posto al disopra dei primo gruppo caratteristico sta per indicare die 

 esso corrisponde appunto a quella quadrica ad n — 2 — h, dimensioni d'intersezione 

 del S'„_,_^ cono, e dove gli altri grup^ii caratteristici corrispondono a spazi 

 fondamentali di quella focale piosti sugli spazi fondamentali corrispondenti della 

 serie omofocale corrispondente (Anche le radici del determinante a cui appartiene 

 questa nuova caratteristica sono le stesse che quelle del determinante della serie 

 omofocale). 



Questo teorema ha evidentemente una grandissima importanza per la classifica- 

 zione delle quartiche; dalla caratteristica di una quartica qualunque su una quadrica 

 esso ci dà la caratteristica, delle sue quartiche focali, e riceversa dalla caratteristica 

 di una focale ci dà quella di tutte le quartiche di cui questa è focale. Si vedrà chia- 

 ramente quanto questo sia importante nella appUcazione che ne faremo (*). 



161. Prima però di passare alla classificazione dei complessi quadi'atici è ne- 

 cessario che riconosciamo in quale relazione stia una retta doppia qualunque di un 

 complesso quadratico sia rispetto a questa, sia rispetto alla sua superficie singolare. 

 Abbiamo definito (V. n° 123) una retta doppia r di un complesso quadratico Q come 

 un elemento doppio, nel senso più generale, di questo considerato come una quartica 

 sulla quadrica R nello spazio lineare a 5 dimensioni, ed un tal elemento doppio r 

 sappiamo esser caratterizzato dal fatto che VS'^ tangente in »• ad i? è pur tangente 

 in r a tutte le altre quadriche passanti per Q, tra le quali ve ne sarà una f spe- 

 cializzata una più volte ed avente un elemento doppio in r. Diciamo n quel «S'^ 

 tangente: taglierà i? ed /" in due S^^ aventi in r comune un elemento doppio. Un 

 S\ qualunque contenuto in - e non passante per r taglierà II e /' in due S\, che 

 diremo M, eà f, e sono due quadriche a 2 dimensioni in uno spazio lineare a 3 di- 

 mensioni. Hanno dunque per intersezione una quartica aS"', , i cui elementi congiunti 

 a r danno gli S\ (oo') che costituiscono l'intersezione (S^ di n con Q. Ora Tinter- 

 sezione di B con n contiene oo' S\ di ciascuno dei due sistemi di S'^ contenuti in 

 Il : questi /S'j sono quelli che congiungono r ai due sistemi di oo' S\ contenuti in 

 H, . Ora ciascun S\ di questi due sistemi taglia /", in 2 elementi, cosicché potremo 

 dire che in ognuno di quegli S\ di i? passanti per r l'intersezione con Q si scinde 

 in due S\ passanti per r. Inoltre per ciascuno dei 2 sistemi di S\ di li, sappiamo 



(*) Non ci è riuscito di trovare una dimostrazione di quel teorema, la quale faccia uso di equa- 

 zioni affatto generali. Invece usando form3 particolari di equazioni, per esampio quella cano.iiclie djle 

 dal Weierstrass, la dimostrazione riesce facile. 



