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esservene 4 tangenti ad /", ed alla quartica /", 7J, (e queste 2 quaterne "di S', di R^ 



hanno lo stesso rapporto anarnionico) e quindi vi saranno, per ciascuno dei 2 sistemi 



di S\ di R passanti per >■, 4 in generale pei quali i due S\ costituenti l'interse- 

 zione con Q vengono a coincidere. Dunque: 



Ogììi retta doppia di un complesso quadratico ha la proprietà che in ogni 

 piano passante per essa le rette del complesso formano due fasci di cui essa fa 

 parte e similmente per ogni suo punto. Vi sono in generale 4 piani e 4 punti, 

 per ciascuno dei quali quei due fasci coincidono , sicché la retta doppia con- 

 tieiie in generale 4 jiiani doppi e 4 2)uiìti doppi del complesso e quindi anche 

 (Y. n° 145) della superficie singolare. Ne segue immediatamente che ogni retta doppia 

 del complesso è pure retta doppia della sua superfìcie singolare, sia come luogo 

 di punti sia come inviluppo di piani; e vediamo inoltre che essa contiene in 

 generale 4 punti doppi (cuspidali) e 4 piani doppi aventi lo stesso rapporto 

 enarmonico. 



162. Quando quella retta doppia proviene dal gruppo caratteristico 2, oppure 

 (11), della caratteristica del complesso quadratico, sono queste le sue proprietà prin- 

 cipali, ma quando essa proviene da radici multiple d'ordine superiore a 2 del discri- 

 minante, come 3, (2 1), 4, ecc., allora avi-à particolarizzazioni che ora riconosceremo. 

 A tal fine bisogna ricordare le cose dette in generale ai n" 76, 77 per la distinzione 

 delle varie specie di elementi doppi che può avere una quartica qualunque. Da esse 

 risulta che, colle notazioni dianzi usate, ai gruppi caratteristici 3, 4, 5, 6 corrisponde 

 rispettivamente l'avere la quartica d'intersezione di /", e R, il gruppo caratteristico 

 1, 2, 3, 4 corrispondentemente ad /', che ha in questi casi un elemento doppio nell'ele- 

 mento d'intersezione del S'^ di - che contiene /', ed JJ, col S', in cui n è toccato 

 in questi casi dalla quadrica specializzata f. Ora le particolarità che noi sappiamo 

 incontrarsi nell'intersezione di 2 quadriche nello spazio lineare a 3 dimensioni quando 

 essa presenta gl'indici caratteristici isolati 1, 2, 3, 4 ci dicono subito che: per la 

 retta doppia corrispondente al caratteristico 3, od anche (2 1), vi sono ancora 4 punti 

 doppi e 4 piani doppi distinti; per quella corrispondente al caratteristico 4 due dei 

 punti doppi e due dei piani doppi son venuti a coincidere in un punto ed un piano 

 aventi comune un fascio di rette del complesso, mentre son rimasti due punti e due 

 piani doppi isolati ; per la retta doppia corrispondente al caratteristico 5 tre dei punti 

 doppi e tre dei piani doppi coincidono e rimangono solo più un altro punto ed un 

 altro piano doppio; finalmente il caso del gi'uppo caratteristico 6 si presenta come 

 notevole in quanto che allora la intersezione di R, ed /, avendo la caratteristica [4] 

 si scinde in una cubica ed una generatrice dell'uno o dell'altro sistema di R, (V. 

 n° 80). Dunque il complesso quadratico [6] contiene o un piano od un punto di rette, 

 nel qual piano o punto sta la retta doppia, la quale contiene ancora un punto ed 

 un piano doppi: se p. e. è un piano di rette che è contenuto nel complesso, allora 

 ogni suo punto contenendo un fascio di queste rette sarà singolare, e quindi la su- 

 perficie singolare si scinderà in questo piano ed una superficie di 8'-' ordine e 4^ classe 

 avente la retta doppia del complesso per sua retta semplice come luogo, ma doppia 



